29837_565a69822e8e997abd5d8a54537654f3

Глава 3 АННУИТЕТЫ

3.1. Постоянный аннуитет

Основные положения

•Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока, генерируемого в течение ряда временных интервалов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Обычно считается, что генерируемые в рамках одного временнбго интервала поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри интервала, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо или авансовым, во втором - потоком постнумерандо.

•Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: а) прямой, предполагающей суммарную оценку наращенного денежного потока; б) обратной, предполагающей суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока.

•Ключевым моментом при оценке денежного потока является молчаливая предпосылка о том, что анализ ведется с позиции "разумного инвестора", т.е. инвестора, не просто накапливающего полученные денежные средства, а немедленно инвестирующего их с целью получения дополнительного дохода. Именно этим объясняется тот факт, что при оценке потоков в обоих случаях (и при наращении, и при дисконтировании) предполагается капитализация обычно по схеме сложных процентов.

•Аннуитет (финансовая рента) представляет собой частный случай денежного потока, а именно это однонаправленный денежный поток с равными временными интервалами. Любой элемент такого денежного потока называется членом аннуитета

262

(членом ренты), а величина постоянного временнбго интервала между двумя его последовательными элементами называется периодом аннуитета (периодом ренты).

• Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. Если в течение каждого базового периода начисления процентов денежные поступления происходят р раз, то аннуитет часто называют р -срочным. Часто в качестве такого базового периода выступает календарный год.

• Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой. В этом случае формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета существенно упрощаются. Значения коэффициента наращения аннуитета, входящего в формулу определения будущей стоимости, табулированы для различных значений процентной ставки и сроков действия аннуитета. Также табулированы значения коэффициента дисконтирования аннуитета, входящего в формулу определения приведенной стоимости.

•Ситуацию, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода, можно рассматривать с двух точек зрения: на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются либо сложные, либо простые проценты.

•Аннуитет называется отсроченным, если начало его первого периода сдвинуто вправо по временнбй оси от момента времени, на который происходит анализ.

•Аннуитет называется бессрочным (или вечной рентой), если число его элементов неограниченно большое (в том числе достаточно большое). В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют и вечной рентой.

Вопросы для обсуждения

1.Какой денежный поток называется потоком пренумерандо? Приведите пример.

2.Какой денежный поток называется потоком постнумерандо? Приведите пример.

3.Чем объясняется достаточно большое распространение на практике потока постнумерандо?

263

4.В рамках решения каких двух задач может выполняться оценка денежного потока?

5.Какая формула лежит в основе оценки наращенного денежного потока?

6.Какая формула лежит в основе определения общей величины приведенного денежного потока?

7.Почему при оценке денежного потока обычно предполагается капитализация по схеме сложных процентов?

8.Какой денежный поток называется аннуитетом?

9.Что называется членом аннуитета, периодом аннуитета?

10.Какой аннуитет называется срочным?

11.Какой аннуитет называется/^-срочным?

12.Приведите пример срочного аннуитета постнумерандо. 13.Приведите пример срочного аннуитета пренумерандо.

14.Какой аннуитет называется постоянным?

15.Что называется коэффициентом наращения аннуитета?

16.Каков экономический смысл коэффициента наращения аннуитета?

17.Как изменяется коэффициент наращения аннуитета при изменении процентной ставки и срока действия аннуитета?

18.Как пользоваться таблицей значений коэффициента наращения аннуитета?

19.Какие свойства коэффициента наращения аннуитета вы можете привести? Дайте этим свойствам финансовую интерпретацию.

20.Какое существует соотношение между множителем наращения сложными процентами и коэффициентом наращения аннуитета? Каким образом, используя это соотношение, можно интерпретировать результат наращения сложными процентами?

21.Какие существуют подходы при рассмотрении ситуации, когда в течение базового периода начисления процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются один раз в конце периода?

22.Что называется коэффициентом дисконтирования аннуитета? 23.Каков экономический смысл коэффициента дисконтирования

аннуитета?

24.Как изменяется коэффициент дисконтирования аннуитета при изменении процентной ставки и срока действия аннуитета?

25.Как пользоваться таблицей значений коэффициента дисконтирования аннуитета?

264

26.Какие свойства коэффициента дисконтирования аннуитета вы можете привести? Дайте этим свойствам финансовую интерпретацию.

27.Какое существует соотношение между множителем дисконтирования при дисконтировании по сложной процентной ставке и коэффициентом дисконтирования аннуитета? Каким образом можно интерпретировать это соотношение?

28.Какой аннуитет называется отсроченным?

29.Как получить формулы определения будущей или приведенной стоимости аннуитета при начислении непрерывных процентов?

30.Каково соотношение между будущими стоимостями аналогичного вида аннуитетов пренумерандо и постнумерандо?

31.Какая из приведенных стоимостей аналогичного вида аннуитетов больше: пренумерандо или постнумерандо?

32.Какой аннуитет называется бессрочным?

33.Приведите пример бессрочного аннуитета (вечной ренты). 34.Почему определение будущей стоимости бессрочного аннуи-

тета не имеет смысла?

35.Как пояснить с финансовой точки зрения, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость?

36.Какая существует связь между приведенной стоимостью срочного аннуитета и приведенными стоимостями бессрочных аннуитетов?

37.В каких случаях для определения приблизительно приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета?

Типовые примеры н методы их решения

Пример 3.1.1. Клиент в конце каждого года вкладывает 3 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 25% годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через 7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк в начале первого года, то какой величины должен быть взнос? Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются в начале каждого года?

265

Решение. Первый вариант помещения денег является постоянным аннуитетом постнумерандо, член которого равен 3 тыс. руб., срок - 7 лет, и период равен одному году. Изобразим схематично эту ситуацию на оси времени (одно деление равно одному году), помещая над осью члены аннуитета.

Для определения суммы на счете через 7 лет (т.е. будущей стоимости аннуитета) можно воспользоваться общей формулой (116), полагая г = 0,25, С\ = Cj =...« С7 = 3. Однако удобнее пользоваться уже преобразованным вариантом этой формулы для постоянного аннуитета, а именно формулой (120), из которой при Л = 3 тыс. руб., л — 7 получим:

FVpst « 3 • 7^3(25%,7) = 3 • 15,0735 = 45,221 тыс. руб.

Значение коэффициента наращения аннуитета FM3(25%J) можно либо взять из табл. 3 приложения 3, либо вычислить не-

посредственно по формуле, определяющей этот коэффициент. Для определения величины взноса (в начале первого года),

который при наращении сложными процентами через 7 лет станет равным 45,221 тыс. руб., можно воспользоваться формулой нахождения приведенной стоимости аннуитета. Применяя формулу (121), находим:

PV°st = 3 • М/4(25%,7) = 3 • ЗД611 = 9,483 тыс. руб.

Естественно, можно было воспользоваться уже ранее найденной будущей стоимостью FV°st и формулой (65):

PV°st - FVpSi • FM2(25%,7) = 45,221 - 0,2097 = 9,483 тыс. руб.

Если же деньги вкладываются в начале каждого года, то имеем дело с постоянным аннуитетом пренумерандо, который

266

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119) или соответственно формулами (126) и (127) при т = р = 1:

ГУ pre = FVpt • (1 + 0,25) = 45,221 • Ц5 = 56,526 тыс. руб.;

PV%re = РК£,(1 + 0,25) = 9,483.1,25 = 11,854 тыс.руб.

Пример 3.1.2. Вам предлагают сдать в аренду участок на шесть лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 20 тыс. руб. - в конце каждого года; б) 240 тыс. руб. - в конце шестилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 30% годовых по вкладам? При какой оплате в конце каждого года оба варианта практически эквивалентны?

Решение. Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо при п = 6 и А =20 тыр. руб. Схематично этот вариант можно представить таким образом:

В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования Полученных сумм как минимум на условиях 30% годовых (например, вложение в банк). К концу шестилетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии с формулой (120), где г = 30%:

FV°st = 20 • /71/3(30%,6) = 20-12,7560 = 255,12 тыс. руб.

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.

Конечно, оценку обоих вариантов можно было произвести и с позиции текущего момента. По формуле (121) находим приведенную стоимость денежного потока, получаемого при первом варианте оплаты аренды:

PV*t = 20 • FA/4(30%,6) = 20. 2,6427 = 52,854 тыс. руб.

267

По формуле (65) определяем приведенную стоимость F„ =240 тыс. руб.:

Р = 240FM2(30%,6) = 240 • 0Д072 = 49,728 тыс. руб.

Естественно, приходим к тому же выводу: вариант (а) более выгоден.

Для определения величины оплаты в конце каэвдого года, при которой оба варианта эквивалентны, воспользуемся равенством А • FAf3(30%,6) = 240 тыс. руб., из которого находим:

А - FM4(30%,6) - 49,728 тыс. руб.

Пример 3.1.3. Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет в течение трех лет получать в конце каждого квартала 8 тыс. руб. Определите возможные суммы, которые может через три года получить предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 24% годовых с начислением процентов: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение, а) В этой ситуации возможны два варианта. Если начисляются только сложные проценты, то по формуле (122) при А = 8 тыс.руб., п = 3, г-24%, /и-1, р = 4 получим:

- р FAf3(24%,3) 0 3,7776 W l l l l l 5 р = 8 — — = 13U81 тыс. руб.

FA/3(24%i)

Так как, естественно, значения FM3 (24%, —) в таблице нет, то 4

его вычисляем непосредственно по формуле FM3(r,n) = ^ + — -

при л = —, г = 0,24: 4

J_

¥М3(24%Л) = С1 *0 »2 4 )4 "1 = 0,2302. 4 0,24

268

Бели в течение года происходит начисление простых процентов, то по формуле (129) получаем:

Si = 8(4 + ——jp^) • FA/3(24%3) = 33JB8 • 3,7776 = 131,763 тыс. руб.

б) В данном случае можно воспользоваться формулой (120), считая базовым периодом начисления процентов квартал. Тогда

решении этой задачи (в случае начисления только сложных процентов) можно было пользоваться только общей формулой (122), выбирая соответствующие значения параметров.

Заметим, что в ряде книг формулы оценки аннуитета имеют несколько отличный вид от соответствующих формул, приведенных в пособии, поскольку в них вместо величины А каждого денежного поступления взята за основу суммарная величина А денежных поступлений за базовый период начисления процентов (обычно за год). Таким образом, в формулах (122)—(124) и

А

им подобных вместо множителя А появляется множитель Р

Пример 3.1.4. Предприниматель, заключив на пять лет контракт с фирмой, будет получать от нее по 30 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти платежи предприниматель будет помещать в банк на условиях начисления сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 32%. Определите приведенную стоимость суммы, которую получит предприниматель по данному контракту, если проценты начисляются: а) раз в полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

269

Решение. Воспользуемся во всех случаях только формулой (123), где А = 30 тыс. руб., г ~ 32% , п « 5, р - 2.

поэтому применяем непосредственно расчетные формулы. Так

= 139Д82тыс. руб.

Как и следовало ожидать, приведенная стоимость с ростом числа начислений уменьшается.

Пример 3 . 1 . 5 . Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 36% годовых, чтобы в течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 8 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежемесячно; в) непрерывно?

270