2.Классическая и статистическая вероятность

Классический способ определения вероятности применяется для полной группы равновозможных несовместных событий.

Каждое событие этой группы назовем случаем или элементарным исходом. По отношению к каждому событию случаи делятся на благоприятные и неблагоприятные.

Определение 2.Вероятностьюсобытияназывают величину

,

где - число случаев, благоприятных появлению события,- общее число равно-возможных в данном опыте случаев.

Пример 2. Брошены две игральные кости. Пусть событие- сумма выпавших очков равна. Найти.

а) Ошибочное решение. Всего возможно 2 случая: и- полная группа несовместных событий. Благоприятен одни случай, т.е.

Это ошибка, так как ине равновозможные.

б) Всего равновозможных случаев . Благоприятные случаи: выпадение

Слабыми сторонами классического определения являются:

1. - количество случаев конечно.

2. Результат опыта очень часто невозможно представить в виде совокупности элементарных событий (случаев).

3. Трудно указать основания, позволяющие считать случаи равновозможными.

Пусть произведено серия из испытаний.

Определение 3. Относительной частотой событияназывают величину

,

где - число испытаний, в которых появилось события,- общее число испытаний.

Длительные наблюдения показали, что в различных опытах при достаточно больших

изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа, которое назовем статистической вероятностью.

Вероятность обладает следующими свойствами:

1. Вероятность достоверного события равна 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Для любого события

3.Алгебра событий

1.Определения.

4.Суммой или объединением нескольких событий называется событие, состоящее хотя бы одного из них.

5.Произведением нескольких событий, называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Из примера 1. - хотя бы одно попадание при трех выстрелах,- попадание при первым и вторым выстрелах и промах при третьем.

- ровно одно попадание.

- не менее двух попаданий.

6.Два события называется независимыми (зависимыми), если вероятность одного из них не зависит (зависит) от появления или не появления другого.

7.Несколько событий называются независимыми в совокупности, если каждое из них и любая линейная комбинация из остальных событий, есть события независимые.

8.Условной вероятностьюназывают вероятность события, вычисленного в предположении, что событиепроизошло.

2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность совместного появления (произведе-ния) нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события имели место

Следствие 1. Если - независимы в совокупности, то

Действительно: так как .

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар, при третьем – синий шар, если

а) каждый раз шар возвращается в урну.

- в урне после первого испытания шаров из них 4 белых.. Отсюда

.

б) шар не возвращается в урну. Тогда - независимые в совокупности и