ЭММ контрольные задания для заочного отделения

1. ПРОГРАММА КУРСА

Тема 1. Введение. Этапы становления экономикоматематического моделирования. Особенности применения метода математического моделирования в экономике. Классификация экономико-математических моделей. Этапы экономикоматематического моделирования.

Тема 2. Балансовые модели. Балансовые модели замкнутых экономических систем. Модель межотраслевого баланса. Коэффициенты прямых, косвенных и полных материальных затрат, продуктивность системы. Анализ основных допущений модели. Сравнительный анализ систем цен по условиям производства. Балансовые модели открытых экономических систем.

Тема 3. Моделирование сферы производства.

Производственные функции и функции производственных затрат. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами. Показатели использования ресурсов. Типовые производственные функции. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат. Оптимальные модели потребления ресурсов. Общие свойства и характер ограничений. Принципы соизмерения затрат и результатов.

Тема 4. Моделирование сферы потребления. Целевая функция потребления. Соизмеримость и взаимозаменяемость потребительских благ. Математический анализ поведения потребителей в условиях рынка. Функции потребительского спроса. Максимизация уровня потребления при заданных функциях потребления.

Тема 5. Оптимизационные модели. Оптимальные модели потребления ресурсов. Общие свойства и характер ограничений. Каноническая и двойственная задачи линейного программирования.

3

Модели линейного программирования в экономических системах. Принципы соизмерения затрат и результатов. Свойства двойственных оценок и методика их использования. Мера дефицитности ресурсов и продукции.

Тема 6. Распределительные модели. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости и ее математическая модель. Открытая и закрытая модели транспортной задачи. Способы построения начального опорного решения. Теорема об оптимальности решений задачи, потенциалы поставщиков и потребителей, оценки свободных клеток транспортной таблицы и их экономический смысл. Алгоритм метода потенциалов.

Тема 7. Многошаговая оптимизация. Понятие о динамическом программировании. Принцип оптимальности Беллмана. Вычислительная схема метода динамического программирования. Динамические задачи оптимального распределения средств на расширение производства и определения оптимальной стратегии замены оборудования.

Тема 8. Система массового обслуживания.

Одноканальные и многоканальные СМО с отказами и ожиданием. Основные характеристики СМО. Замкнутые СМО.

4

2. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ

2.1. МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА Задача. Пусть для трех отраслей экономики задаются

коэффициенты прямых материальных затрат и объемы конечной продукции:

конечная отрасль коэффициенты прямых затрат продукция (млн.руб.)

На основе исходных данных:

-проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат;

-рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;

-найти объемы валовой продукции отраслей;

-построить схему межотраслевого материального баланса;

-проверить правильность составления баланса.

Решение. Схема межотраслевого баланса состоит из четырех основных частей. Заданная по условию задачи конечная продукция отраслей находится во второй части схемы, которая характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Найдем суммы элементов столбцов матрицы А, составленной из коэффициентов прямых материальных затрат так как суммы элементов столбцов строго меньше единицы, значит матрица коэффициентов прямых материальных затрат продуктивна.

5

Объем валовой продукции отраслей находится по формуле

X=S*Y, где

6

объем валовой продукции первой отрасли 259,63 млн.руб.; объем валовой продукции второй отрасли 246,33 млн.руб.; объем валовой продукции третьей отрасли 244,04 млн.руб.

Валовая продукция не входит ни в одну из частей межотраслевого баланса.

Значения межотраслевых потоков выражаются произведением соответствующих коэффициентов прямых затрат на

показывает стоимость средств производства, произведенных в первой отрасли и потребленных в качестве материальных затрат второй отраслью.

Строим схему межотраслевого баланса производства и распределения продукции (млн.руб.):

Условно-чистая продукция находится в третьей части схемы межотраслевого баланса.

7

Данные этой части необходимы для анализа соотношений между вновь созданной и перенесѐнной стоимостью, между величиной необходимого и прибавочного продукта в целом по материальному производству и в отраслевом разрезе.

Сделав анализ условно-чистой продукции, можно сделать вывод, что у всех трех отраслей она недостаточна для решения стратегических задач.

Проверяем правильность составления баланса с помощью соотношения: Zi Yi , 300,81=300, так как разница между

величинами в пределах 10% - баланс составлен верно. Данное соотношение показывает конечное распределение и использование национального дохода, которое представлено в четвертой части схемы. Данные этой части важны для отражения в модели баланса доходов и расходов населения, источников финансирования капитальных вложений, текущих затрат непроизводственной сферы, для анализа общей структуры конечных доходов по группам потребителей.

8

Таким образом, в общей схеме межотраслевого баланса общественного продукта независимо друг от друга совмещаются два частных баланса - материальный (первая и вторая части) и баланс затрат (первая и третья части).

2.2. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ. Задача 1. Пусть дана производственная функция:

y = -2x²+3x+2,

где у – выпуск продукции, х – ресурс, используемый в производстве.

Определить:

-объѐм выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов;

-границы ресурса, в пределах которых изменяется объѐм продукции;

-среднюю и предельную производительность ресурса, эластичность ресурса;

-построить модель прибыли, если цена продукта Ру=5, а цена ресурса Рх=2, постоянные издержки m=7.

Решение. Объѐм выпускаемой продукции, который формируется за счет прочих факторов, то есть кроме затраченного ресурса (х=0) равен у=2, то есть это та часть объѐма выпускаемой продукции, которая формируется за счет прочих факторов.

Определим границы ресурса, в пределах которых изменяется объѐм продукции. Для этого решим уравнение:

-2x²+3x+2=0

Получили, что х1 =- 0,5; х2 = 2.

Зона [-0,5;0] не учитывается в исследовании, так как ресурс

хне может быть меньше 0.

Авот граница от 0 до 2 – это та самая зона, в пределах которой ресурс х может использоваться.

Теперь определим среднюю производительность:

Предельная производительность:

тогда х=0,75 – количество ресурса, при котором у достигает своего максимума у=3,125

Найдем вторую производную: d²х=-4<0, следовательно, предельная эффективность ресурса уменьшается с каждой дополнительной единицей. А в точке (0,75; 3,125) будет достигаться максимум, при этом предельная эффективность v=0, то есть ресурс отдает себя полностью для формирования максимального объѐма производства.

Проверим, например, при х=1, тогда у=3, то есть даже если ресурс будет перерасходоваться, объѐм производства будет уменьшаться.

Найдем эластичность:

продукции меньше, чем затрат живого труда.

Пусть предприятию необходимо знать какой объем прибыли она может иметь, если цена продукта Ру=5, а цена ресурса Рх=2.

Издержки производства состоят из постоянной и переменной частей. Постоянная часть m=7, а переменные издержки определяются затратами ресурсов.

Построим модель прибыли (П):

П=Ру*у-(m+Рх*х)=5(-2x²+3x+2)-(7+2*х)= -10х²+13х+3.

Для получения величины максимальной прибыли, строим первую производную:

dП

dx

=-20x+13=0, х=0,65 (локальный максимум).

10

Полученное значение подставляем в модель прибыли и получаем П=7,225

Таким образом, получили максимальную прибыль П=7,225 при затраченных ресурсах равных 0,65, при этом будет выпускаться

3,105 единиц.

Проверим условие Рх ≥ а1 *Ру, где а1 =3. Условие не

выполняется, поэтому затрачивать переменные ресурсы не целесообразно, так как это ведет к уменьшению прибыли.

Задача 2. Пусть предприятие, выпускающие хлебобулочные изделия использует два вида ресурсов х1 (мука) и х2 (дрожжи). И производственная функция будет иметь вид: у=6 х1 ²+ х2 ².

Цена за единицу продукта Ру =16, цена муки Р1 =10, цена дрожжей Р2 =6.

Определить:

-оптимальный размер прибыли;

-объем хлебобулочных изделий при заданной общей сумме затрат.

Решение. Построим модель прибыли (П): П=Ру*у- Р1 * х1 - Р2 * х2

П=16*(6 х1 ²+ х2 ²)-(10 х1 +6 х2 )=96 х1 ²+16 х2 ²-10 х1 -6 х2

Найдем частные производные:

Тогда прибыль будет равна:

Следовательно, вместо прибыли имеем убыток, то есть точка имеет локальный минимум, а не максимум.

Найдем объем хлебобулочных изделий при заданной общей сумме затрат: С = Р1 * х1 + Р2 * х2

С = 10 х1 +6 х2

Значения х1 и х2 дают физическую величину затрат

ресурсов, максимизирующих объѐм производства при заданных ценах и общей сумме затрат. Или при заданных затратах мы можем найти объѐм выпускаемой продукции.

2.3. МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ.

Задача. Пусть функция полезности потребителей на множестве двух товаров выражается целевой функцией

полезности вида: U = у1 у2 . Цена первого товара Р1 = 43, второго Р2 = 59, уровень дохода D = 1200.

Найти численное значение функции полезности.

Решение. Функция полезности это отношение между объѐмами потребляемых товаров и уровнем удовлетворѐнности потребителя.

Строим бюджетное ограничение, которое указывает, что

12

доход потребителя должен быть равен расходам по приобретению

показывают прирост полезности при потреблении дополнительной единицы товара.

данное уравнение вместе с бюджетным ограничением. Получим систему линейных уравнений:

получим у1 = 9,69, у2 = 13,28 – оптимальные размеры покупок

двух товаров при заданном уровне дохода.

Находим численное значение функции полезности

U = у1 у2 = 9,69*13,28 = 118,99.

Определить сколько следует выделить средств на приобретение первого ресурса, сколько на приобретение второго.

Таким образом. для покупки первого товара следует выделить у1 *

Таким образом, найдены оптимальные размеры двух видов товаров, при покупке которых потребитель получит максимальную полезность и удовлетворение.

13

2.4. МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.

Задача. Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т. п. Допустим, например, ресурсы трех видов рабочая сила, сырье и оборудование имеются в количестве соответственно 80(чел/дней), 480(кг), 130(станко/часов). Фабрика может выпускать ковры четырех видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса необходимых для производства одного ковра каждого вида и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице 4.1.

Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость продукции будет максимальная.

Решение. Сформулируем экономико - математическую модель задачи. Введем переменные: Х1, Х2, Х3, Х4 - количество ковров каждого типа.

Таким образом, план выпуска продукции представляется в виде вектора Х=( Х1, Х2, Х3, Х4), который должен удовлетворять следующим условиям:

14

Полученное решение - максимальный доход 150 тыс. руб. фабрика может получить при выпуске 30 ковров второго вида и 10 ковров третьего вида. При этом ресурсы труд и оборудование будут использованы полностью, а ресурс сырье из 480кг будет использовано только 280кг.

Проведем анализ полученного оптимального решения исходной задачи с помощью отчета – Устойчивость решения (отчет получен также с помощью средств Excel 2003):

Таблица 4.3.

Ресурсы труд и оборудование имеют отличные от нуля теневые оценки 1,3 и 0,3 – эти ресурсы полностью используются в

этот ресурс не влияет на план выпуска продукции.

Если изделие вошло в оптимальный план (Xi >0), то в нормируемых стоимостях оно не убыточно, то есть, стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы изделия равна его цене.

Если стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия больше его цены, то это изделие не войдет в оптимальный план из-за его убыточности. В нашей задаче в план выпуска не вошли ковры первого и четвертого видов, потому что затраты по ним превышают цену на 7 (10-3) тыс. руб. и 9.666 (10.666-1) тыс. руб. соответственно.

Предположим, что запас сырья ресурса «труд» изменился на 12 единиц и теперь он составляет 80 + 12 = 92 единиц. Увеличение запасов ресурса «труд» приведет к увеличению значения целевой функции на 16 тыс. руб.( f(x)= фактическое изменение ресурса на значение теневой цены = 12*1,333=16).

2.5. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.

Задача. В трех хранилищах A1 , A2 , A3 имеется

соответственно 70, 90, и 50 т топлива. Требуется спланировать перевозку топлива четырем потребителям B1 ,B2 ,B3 ,B4 , спрос

16

которых равен соответственно 50,70,40 и 40т так, чтобы затраты на транспортировку были минимальными. Стоимость перевозки 1т (в усл. ден. ед.) указана в таблице 5.1.

Поскольку запасы топлива в хранилищах равны спросу потребителей, имеем задачу закрытого типа.

Первым этапом решения является нахождение начального опорного плана методом «минимального элемента». Груз распределяется, начиная с загрузки клетки с минимальным значением тарифа. При этом в клетку записывается максимально возможное значение поставки. Затем из рассмотрения исключают строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, или столбец, соответствующий потребителю, спрос которого полностью удовлетворен. После этого из оставшихся клеток таблицы снова выбирают клетку с наименьшим тарифом. Процесс распределения заканчивается, когда все запасы поставщиков исчерпаны, а спрос потребителей полностью удовлетворен.

Итак, в распределительной таблице записан исходный опорный план ( таблица 5.2.):

17

Начальный опорный план, найденный методом «минимального элемента» имеет количество занятых клеток ровно m+n-1=6, поэтому становится допустимым.

Минимальные транспортные издержки для этого плана:

С x 0 5 40 4 30 350 140 2 10 140 570 (усл.ед.)

Вторым этапом решения является проверка на оптимальность допустимого плана методом потенциалов:

каждому поставщику поставим в соответствие потенциал

Потенциалы строк и столбцов для начального опорного плана, найденного методом «минимального элемента» найдем из решения системы:

18

Система линейно-зависимая, для нахождения одного из

Его можно улучшить с помощью цикла пересчета.

Из клеток, помеченных «-» выбираем наименьшее количество груза (40) и будем его прибавлять к клеткам, помеченным «+» и вычитать из клеток, помеченных « - », получим следующий план перевозок (таблица 5.4).

Полученный опорный план является вырожденным, т.к. число заполненных клеток равно 5<m+n-1=6. Для преодоления

20