2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса

Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила N_xв поперечном сечении этого бруса (на расстоянииxот его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е.

N_x=γFx, (2.14)

где γ – удельный вес материала стержня.

. (2.15)

Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:

.

Получили выражение для произвольного сечения стержня

. (2.16)

При х = 0 перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня

. (2.17)

На рис.2.8,в,г,д приведены графики N_x, σ_х и u_x

а б в г д

Рис.2.8

Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:

.

Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому

. (2.18)

Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а).

Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают.

Принцип независимости действия силвытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности.

2.5. Статически неопределимые системы

Мы рассмотрели два примера, в которых внутренние усилия в стержнях определялись из уравнений статики. Это были статически определимые системы.

Статически определимыми называются системы, у которых число неизвестных реакций (число внутренних силовых факторов) равно числу уравнений статики.

Рассмотренные конструкции легко можно переделать – с целью повышения прочности установить дополнительную опору или дополнительный стержень (рис.2.9).

а б

Рис.2.9

При этом увеличивается число неизвестных усилий, а число уравнений статики остается неизменным. Так, для стержня на рис.2.9,а невозможно найти две неизвестных опорных реакции R_A и R_В (и, соответственно, продольную силу N на каждом из трёх участков) из единственного уравнения статики ∑ х = 0. А для кронштейна на рис.2.9,б невозможно найти усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ из двух уравнений статики. Конструкции стали статически неопределимыми.

Статически неопределимыминазываются системы, у которых число неизвестных реакций (число внутренних силовых факторов) превышает число уравнений статики. Разность между числом неизвестных усилий и числом независимых уравнений статики называетсястепенью статической неопределимости. Её можно найти из таких соображений: степень статической неопределимости равна числу “лишних” связей – связей, которые можно удалить из конструкций без ущерба для статического равновесия. Например, абсолютно жёсткий брус АВ закреплен на шарнирной опоре А и удерживается четырьмя тягами (рис.2.10). Равновесие бруса АВ не будет нарушено, если из четырех тяг удалить три. Если же удалить все четыре, конструкция превратится в механизм – брус АВ упадёт. Поэтому степень статической неопределённости этой системы равна трём. Для системы, показанной на рис.2.9, степень статической неопределимости равна единице. Степень статической неопределимости ничем не ограничена.

Рис.2.10

Недостающие для определения усилий уравнения могут быть получены из рассмотрения деформации системы.

Статически неопределимые конструкции, элементы которых работают на растяжение и сжатие, будем рассчитывать, придерживаясь следующего порядка.

1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равновесия отсечённых элементов конструкций, содержащие неизвестные усилия.

2. Геометрическая сторона задачи. Рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи между деформациями или перемещениями отдельных элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместности деформаций.

3. Физическая сторона задачи. На основании закона Гука выражаем деформации элементов конструкций через действующие в них неизвестные усилия. В случае изменения температуры к деформациям, вызванным усилиями, добавляются температурные деформации.

4. Синтез. Решая совместно статические и геометрические уравнения, выраженные через физические, находим неизвестные усилия.

5. Расчёт на прочность. Из условия прочности стержней, в зависимости от поставленной задачи, находим площади поперечного сечения стержней или действующие напряжения для проверки прочности, или грузоподъёмность конструкции.

Рассмотрим примеры расчёта простых статически неопределимых конструкций.