7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов

 

Содержание лекции:

-   аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

 

Цель лекции:

-   изучить на примере моделирования процессов в теплообменнике процедуру применения уравнения теплового баланса, а также эмпирических зависимостей.                    

Как отмечалось ранее, во многих практических случаях закономерности движения реального потока находятся на основе экспериментальных данных. Использование этих зависимостей позволяет отказаться от учета реальной трехмерности потока и одни уравнения упростить, а другие – исключить совсем. Такие упрощения допустимы, так как эмпирические зависимости в определенной мере отражают реальную трехмерность потока. В результате указанных посылок для расчета динамических характеристик можно использовать одномерную модель, а в некоторых случаях – и модель с сосредоточенными параметрами. Для иллюстрации сказанного, рассмотрим динамику процессов в теплообменнике.

Пример 7.1. Рассмотрим теплообменник с интенсивным смешиванием, в который поступает поток Q₁ жидкости с температурой θ₁(см. рисунок 7.1).

Среднее количество вещества в теплообменнике V. Из теплообменника вытекает поток Q₂ с температурой θ₂.

Количество вещества в теплообменнике постоянное: теплообменник  герметично закрыт, то есть расход вещества восполняется входным потоком или, если вещество выталкивается какими-то силами, уровень в теплообменнике поддерживается   другими автоматами.  

Так как V=const, то Q₁= Q₂= Q_{с р}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Рисунок 7.1 - Теплообменник                

Так как вещество интенсивно перемешивается, температура в объеме θ    и температура выходного потока θ₂ равны, т.е. θ = θ₂.

Выведем уравнения модели теплообменника в предположении, что входная величина  H₁ - входной поток тепла, выходная величина θ₂ – температура выходного потока. Изменение входной величины  H₁ может зависеть от изменения потока Q₁, а также от его температуры.

В связи с этим рассмотрим следующие постепенно усложняющиеся ситуации:

а) теплообменник идеально изолирован, то есть нет теплообмена с окружающей средой.

При интенсивном смешивании, можно принять объект как объект с сосредоточенными параметрами и использовать следующее балансовое уравнение:

                                                                                           (7.1)

здесь ρ - плотность материала, т/м²;

С – теплоемкость материала стенок,   Мкал/(т, град);

H_i  - количество тепла, подводимое к теплообменнику за единицу времени (положительная величина) или отводимое от него (отрицательная величина).

          Входной поток  Q₁ соответствует количеству подводимого тепла

H₁= ρ·с ·θ₁ ·Q₁.                                                                     (7.2)

C потоком  Q₂ теряется  выходное количество тепла

    H₂= ρ·с ·θ₂ ·Q_2.                                                                                                                (7.3)    

Подставив H₁ и H₂ в уравнение теплового баланса, получим

                                           (7.4)

или

                    ,  

                              .                             

Имея в виду, что θ = θ₂, получим:

                             

или

                             

здесь - постоянная времени, час; 

- коэффициент передачи, град*час/Мкал;

б)  есть теплообмен с окружающей средой по закону

                        H₃ = h·S· (θ – θ_c),                                                                      (7.5)                   

здесь  h - коэффициент теплопередачи, Мкал/(час, м², град), S  - поверхность теплообменника, м²,   θ_c  - температура внешней среды, ⁰С. 

          В этом случае балансовое уравнение имеет вид:

  (7.6)

После преобразований:

                     (7.7)

          .                                    

Окончательно получим:

.                                      (7.8)

Здесь   ,  .

По сравнению со случаем а)  постоянная времени Т уменьшилась, так как величина  всегда положительная.

          Если температура внешней среды постоянная, переместив начало координат температуры в точку θ_c, член можно убрать, в противном случае θ_c  можно рассматривать как внешнее воздействие;

          в) надо принять во внимание толщину стенок теплообменника, поэтому надо учитывать теплоемкость стенок.

          Поток тепла из объема V на стенки  H₃¹ =h_м ·S· (θ – θ_м),

здесь h_м – коэффициент теплопередачи от потока к стенкам;

θ_м - температура стенок.

          Поток тепла от стенок во внешнюю среду

H₄= h_c·S·(θ_M - θ₂),

здесь h_c – коэффициент теплопередачи от стенок в окружающую среду.

Поскольку стенки теплообменника обладают теплоемкостью, запишем два уравнения (для потока и для стенок):

           (7.9)

.      (7.10)     

Избавимся от промежуточной переменной θ_м.

Для этого, имея ввиду, что θ = θ₂, Q₂ = Q_ср, выразим θ_м из первого уравнения:

 (7.11)

и подставим это выражение во второе уравнение:          (7.12)

После преобразований получим:

                       (7.13)

Выходная величина -  θ₁, входные величины - H  и  θ_с.

Если  θ_с = const, переместив начало координат в точку θ_с, можно избавиться от членов с величиной θ_с. Тогда останутся переменные Q и H₁  и  последнее уравнение  можно записать в виде

                          (7.14)

где a_i и b_i определяют коэффициенты модели.

Получили уравнение второго порядка, так как в объекте есть две сосредоточенные емкости: область теплообменника и область стенок.