17.1 Функцияларды аппроксимациялау туралы қысқаша мәліметтер

Аппроксимациялау есебі – функцияны белгілі функциялар жүйесімен жуықтау. Қарастырылып отырған  f(t) функциясы [0,T] интервалында абсолютты интегралданатын болсын. Практикада әдетте бұл талап орындалады. Берілген функция осы интервалда абсолютты интегралданатын кейбір аппроксимациялайтын функциялардың  φ(t)} жүйесі бойынша жіктеледі

                                                                     (17.1)

         Аппроксимациялайтын функциялардың түрі аппрроксимацияланатын функция туралы априолы ақпараты негізінде ізделінеді. Аппроксимациялау коэффициенттері кейбір алдын ала таңдалынған жуықтау критерийді минимумдайтындай таңдалынады. Келесі жуықтауларды қолдануға болады: тепе-теңдік, интерполяциялық, квадраттық. Алғашқы екі жуықтауды қолданып, есептің дәл шешімін алу үшін шексіз интервалда (идентификациялау алгоритмдеріне жиі кіретін) жіктеудің коэффициенттерін есептеу үшін шектелген алгоритм жоқ. Осы жағдай және іске асырудың алгоритмдік қарапайымдылығы квадраттық жуықтаудың кең тарауына себеп болған. Жіктеу коэффициенттері бұл кезде алгебралық теңдеулер жүйесінен табылады. Скалярлы көбейтінділерді келесідей белгілеп

                        (17.2)

ізделінетін жүйені аламыз:

a₀(φ₀, φ₀) + a₁(φ₀, φ₁) + … + a_N(φ₀, φ_N) = (φ₀, f);

…………………………………………………                                    (17.3)

a₀(φ₀, φ_N) + a₁(φ₁, φ_N) + … + a_N(φ_N, φ_N) = (φ_N, f).

 

(17.3) жүйенің шешімі жалғыз болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болмауы керек. Таңдалынған аппроксимациялайтын функциялар жүйесі сызықты-тәуелсіз болса, тек қана сол жағдайда ғана  анықтауыш нөлге тең болмайды.

Егер де аппроксимациялайтын функциялар жүйесіне басқа талаптар (абсолютты интегралданытннан басқа) қойылмаса, (17.3) жүйе бірлесе шешіледі. Және N кесіндінің ұзындығы өзгергенде қайтадан барлық a_n коэффициенттерді есептеу керек болады. Сонымен бірге, жүйені шешу үшін (17.2) интегралдардың N(N+1)/2 санын есептеу керек. Аппроксимациялау a_nкоэффициенттерін тәуелсіз табу үшін және  (17.3) жүйе шешімін қарапайымдау үшін {φ(t)} функцияларын [0,T] интервалында ортогоналды функциялар ретінде таңдаған жөн, яғни келесі қасиеттері бар:

                                       (17.4)

  мұндағы   c_n  - кейбір тұрақты.

         Егер де {φ(t)} функциялар ортогоналды болса, (17.3) жүйенің анықтаушысы диагоналды болады да, коэффициенттерді есептейтін формулалар келесі түрге қарапайымдалынады:

                            

Егер тұрақтылар c_n=1 болса,{φ(t)} функциялар жүйесі ортонормалданған болып табылады, формулалардың өрнектері белгілі Фурье формулаларға келтіріледі, ал коэффициенттер Фурье коэффициенттері деп аталады (мүшелері [0,T] интервалында ортонормаланған функциялар болатын Фурье қатарларымен сәйкес). Кей кезде белгілі w(t) салмақпен ортогоналды болатын функциялар таңдалынады:

                              (17.5)

Салмақ функциясын таңдағанда, интервалдағы тәуелсіз айнымалының өзгеруінің қателігін айқындау талабы орындалуы керек.

         Алдында қарастырылған алгебралық әдістің кемшілігі – Винер-Хопф жүйесін шешу. Бастапқы интегралды теңдеудің қате болуы жүйенің нашар шартталғандығына келтіреді. Объект туралы априорлы ақпарат негізінде таңдалынатын тегіс импульсті өтпелі функцияны табудың бірнеше әдістері бар.