16 Дәріс. Сызықты динамикалық объекттерді параметрлі емес идентификациялау. Винер-Хопф теңдеуі

 

Дәрістің мазмұны:

-  сызықты динамикалық объекттерді параметрлі емес идентификациялау әдістері

 

Дәрістің мақсаты:

- сызықты динамикалық объекттерді параметрлі емес идентификациялау әдістерін оқу

 

16.1 Импульсті өтпелі функцияны анықтау

         Тұрақты коэффициенттері бар сызықты теңдеумен бейнеленетін жалғыз кірісі мен жалғыз шығысы бар объект үшін кірудегі x(t) және оған y(t) реакциясы жийма интегралымен байланысқан

                           (16.1)

t<0 болғанда x(t)=0 болады, y(t)=v(t)+ε_y(t), x(t)=u(t)+ ε_x(t), v(t)  және u(t) – сигналдардың ақтиқат мәндері, ε_x(t),  ε_y(t)  - тәжірибелерде пайда болатын бөгеттер.

Келесі себептерге байланысты импульсті беріліс функцияны тікелей жийма интегралынан табу қажетсіз немесе мүмкіндігінше болмайтын болады: (16.1) түріндегі интегралдық теңдеулер Вольтерра теңдеулері болып табылады (бірінші немесе екінші ретті), олар нашар шартталған немесе төмен деңгейде шартталған, сондықтан дұрыс шешімді табу үшін арнайы әдістерді қолдану қажет болады. Сонымен бірге, өлшеу нәтижесінде объекттің кірісі мен шығысындағы кездейсоқ процестердің мәндері үлкен қателіктермен алынады, оларды тегістеу қажет.

Объектке стационарлы кездейсоқ әсер берілгенде импульсті өтпелі функцияны статистикалық әдісімен анықтау үшін осы теңдеуге ұқсас, бірақ корреляциялық функцияларды байланыстыратын теңдеу болады. Осы теңдеуді шығарайық.

Кірістің автокорреляциялық функциясы келесі

                                                          (16.2)

Кіріс пен шығыстың өзара корреляциялық функциясы

                                                            (16.3)

Кірістегі және шығыстағы бөгеттердің корреляциясы жоқ, алε_x(t),  ε_y(t) бөгеттер тәуелсіз және ақ шу болады деп есептейміз. Сонда өлшеулердің қателіктерін есепке алмауға болады, яғни R_xx(τ) ≈ R_uu(τ), R_xy(τ) ≈ R_uv(τ).

Осы қорытынды үшін бөгеттердің әсерін минимумдайтын корреляциялық амал қолданылады. Біздер объект операторын орта квадраттар ауытқудың минимумы бойынша іздейтінімізді еске салайық. Ал, осы орта квадрат ауытқу жоғалту (сәйкессіздік) функцияның математикалық күтімі болады. Корреляциялық функцияда – екінші орта момент.

 (16.3) теңдеуіміз бар, бірақ  y(t) пен  x(t) келесі (16.1) теңдеумен байланысқан

Осыдан

               (16.4)

Винер-Хопф теңдеуі деп аталатын теңдеуін аламыз.

Бұл теңдеуді (16.1) теңдеуі ретінде қарастыруға болады, егер де R_xx(t) кіріс әсері деп, ал R_yx(t) – оған реакциясы деп есептесек. Идентификация осы (16.4) теңдеуін [0,T] аралығында шешуге келтіріледі. Бірақ g(t) өшетін функция болғандықтан, яғни t→∞ болғанда lim g(t) = 0, кейбір  T_g уақыттан бастап оның мәндерін есепке алмауға болады. Әдетте T_g шамасын идентификациялау алдында анықтайды. Мысалы, |R(τ)|<= 0.05R_max болатын T_R уақытын анықтауға болады. T_R шамасы R_xx(t) және R_yx(t) үшін әртүрлі болады. Бізге объекттің динамикалық қасиеттері керек, ал олар  R_yx(t) бейнеленеді, сондықтан  T_R шамасы R_yx(t) бойынша анықталады.

Сонымен, динамикалық сипаттамаларды анықтау есебі келесі қадамдарға бөлінеді:

1.     Объект кірісі және шығысындағы кездейсоқ процестерді жазып алу.

2.     Кіріс сигналының автокорреляциялық және кіріс пен шығыс сигналдарының өзара корреляциялық функцияларын есептеу.

3.     T_R параметрді анықтау.

4.     (16.4) интегралдық теңдеуді шешу.

Сонымен, импульсті өтпелі функцияны анықтау есебін Винер-Хопф теңдеуін шешуге келтірдік. Винер-Хопф теңдеуін шешу әдістерін қарастырайық.