ЛЕКЦИЯ
по учебной дисциплине
МАТЕМАТИКА
Тема № . Интегральное исчисление
Занятие № . Понятие определенного интеграла
Учебные и воспитательные цели
Изучить понятие определенного интеграла, его геометрический и физический смысл, основные свойства.
Развивать математическое и логическое мышление, повышать математический кругозор студентов.
I. Учебные вопросы и расчет времени
I. Введениe 5 мин.
II. Основная часть 80 мин.
Учебные вопросы
Определенный интеграл как предел интегральной суммы 20 мин
Геометрический и физический смысл определенного
интеграла 15 мин
Формула Ньютона-Лейбница 15 мин
Основные свойства определенного интеграла 30 мин
III. Заключение 5 мин
Введение
Определенный интеграл – одно из основных понятий высшей математики. Определенный интеграл является мощным инструментом для проведения исследований и решения задач в математике, физике, механике и других дисциплинах. Вычисление площадей, длин дуг, объемов работы, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенных интегралов.
Теоретические задачи, которые в современных обозначениях записываются через определенные интегралы раесматривал еще Архимед. Создание интегрального исчисления в нашем смысле слова с его выходами в геометрию, механику и физику - дело ХVП века и в основном Ньютона и Лейбница. Точное определение интеграла как предела интегральных сумм дано впервые Коши (1821г.)
В лекции мы познакомимся с понятием определенного интеграла и его основными свойствами.
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
а) Задача о площади криволинейной трапеции.
Зададим на отрезке [a, b] неотрицательную непрерывную функцию f(x). График ее изображен на рис. I.
Рис. 1
Поставим задачу: требуется определить площадь фигуры, ограниченной кривой f(x), осью x, прямыми x=a, x=b и вычислить эту площадь. Эта фигура называется криволинейной трапецией, а поставленная задача называется задачей о площади криволинейной трапеции.
Поставленную задачу естественно решать так. Отрезок [a, b] точками a = x0 <x1 < x2 < …< xn-1 < xn = b разобьем на n частичных отрезков [a, x1], [x1, x2], …, [xn-1, b], длины которых обозначим через
xk = xk – x k-1 , k = 1, 2, …, n).
В каждом из отрезков [xk-1, xk] выберем произвольно точку Сk и вычислим в ней f(Ck). Произведение f(Ck).xk выражает площадь прямоугольника о основанием xk и высотой f(Ck). Составим сумму всех таких произведений
Sn = f(C1).x1 + f(C2).x2 + …+ f(Ck).xk = (1.1)
Эта сумма называется интегральной суммой для функции f(x) на [a,b] и выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из площадей прямоугольников.
Очевидно, сумма (1.1) зависит от способа разбиения и выбора точек Сk. Обозначим через длину наибольшего из частичных отрезков разбиения [xk-1, xk], т. е.
Будем теперь стремить все хk к нулю и притом так, чтобы 0. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способов разбиения (I) и выбора точек Сk на частичных отрезках, то величину S будем называть площадью криволинейной трапеции. Таким образом,
Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной трапеции. Возникает вопрос: имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма S, когда 0? Для функции f(x) непрерывной на [a,b], этот вопрос решается положительно. Практика полностью оправдала это определение.
Рассмотренная задача привела нас к необходимости рассмотрения предела интегральной суммы.
Операция вычисления пределов интегральных сумм называется интегрированием функции на отрезке, а ее результат - число - называется определенным интегралом от функции на отрезке.
Определение 1. Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f(x).
1) Отрезок [a, b] точками a = x0 <x1 < x2 < …< xn-1 < xn = b разделим на n произвольных частичных отрезков [a, x1], [x1, x2], …, [xn-1, b], длины которых обозначим через xk = xk – x k-1 , k = 1, 2, …, n). Будем говорить, что этим произведено разбиение R отрезка [a, b].
2) На каждом частичном отрезке [xk-1, xk], разбиения выберем произвольную точку Ck[xk-1, xk] и вычислим в ней значение данной функции f(Ck).
3) Составим сумму
SR = f(C1).x1 + f(C2).x2 + …+ f(Ck).xk =
называемую интегральной суммой функции f(x) на [a, b] соответствующей разбиению R.
4) Обозначим через
максимальную длину частичных отрезков разбиения R.
Если существует конечный предел J интегральной суммы при R0, не зависящей ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек СK, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:
(1.2)
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.
Определение 2. Число называется определенным интегралом для функции f(x) на [a, b], если для любого > 0 найдется такое () > 0, что при любом разбиении R, для которого R < всегда выполняется неравенство
при любом выборе точки Ck[xk-1, xk].
Из определения следует, что величина определенного интеграла
зависит только от вида функции f(x) и от чисел a и b. Следовательно, если заданы f(x) и пределы интегрирования, то интеграл (1.2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число.
Заметим, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
Функция, для которой существует конечный предел (1.2), называется интегрируемой на отрезке [a, b].
Условия существования определенного интеграла.
Отметим без доказательства, что справедливы следующие утверждения:
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на нем.
Теорема 2. Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на [a, b].