9. Лекция: Рекурсивные подпрограммы Динамические структуры данных: стек, очередь, дек. Рекурсивные процедуры и функции. Сравнение рекурсивных и нерекурсивных алгоритмов. Быстрая сортировка массива.

Динамические структуры данных

Динамические структуры данных служат полезным дополнением к стандартным структурам, уже определенным в языке Pascal. Динамическими они называются потому, что их элементы создаются и уничтожаются "на ходу" - в процессе работы программы.

Стек

Стеком называется динамическая структура данных, у которой в каждый момент времени доступен только верхний (последний) элемент. Лучше всего понятие стека можно проиллюстрировать примером стопки книг: в стопку можно добавить еще одну книжку, положив ее сверху; из стопки можно взять, не разрушив ее, только верхнюю книгу. А для того, чтобы достать книжку из середины стопки, необходимо сначала убрать по одной все лежащие выше нее.

Последовательность обработки элементов стека хорошо отражают аббревиатуры LIFO ( L ast I n F irst O ut - "последним вошел, первым вышел") и FILO ( F irst I n L ast O ut - "первым вошел, последним вышел").

Реализовать стек можно любым удобным для программиста способом: например, массивом. Тогда началом стека (его "верхним" элементом) будет последний компонент массива, а освобождение стека будет происходить в направлении от конца массива к его началу. При такой реализации нет необходимости в постоянном перемещении компонент массива.

Впрочем, наиболее эффективной все равно будет реализация при помощи односвязного линейного списка, о котором пойдет речь в следующей лекции.

Операции

Для стека должны быть определены следующие операции:

empty(<нач_стека>):boolean	- проверка стека на пустоту;
add(<нач_стека>,<новый_элемент>):<нач_стека>	- добавление элемента в стек ;
take(<нач_стека>):<тип_элементов_стека>	- считывание значения верхнего элемента;
del(<нач_стека>):<нач_стека>.	- удаление верхнего элемента из стека.

Очередь

Очередью называется динамическая структура, у которой в каждый момент времени доступны два элемента: первый и последний. Из начала очереди элементы можно удалять, а к концу - добавлять. Примером очереди программистcкой вполне может служить очередь обывательская: скажем, в продуктовом магазине.

Последовательность обработки элементов очереди хорошо отражают аббревиатуры LILO ( L ast I n L ast O ut - "последним вошел, последним вышел") и FIFO ( F irst I n F irst O ut - "первым вошел, первым вышел").

Реализовать очередь также можно при помощи массива, хотя здесь уже не удастся полностью избежать перемещения его компонент. Пусть k -я компонента массива хранит начало очереди, а ( k+s )-я - ее конец. Тогда можно приписать новый элемент очереди в ( k+s+1 )-ю компоненту массива, а при удалении элемента из начала очереди ее голова сдвинется в ( k+1 )-ю компоненту. В процессе работы может оказаться, что вся очередь "сдвинулась" к концу массива, и ее снова нужно вернуть к началу. В этом случае и потребуется s перемещений компонент массива ( s - это текущая длина очереди ).

Однако наиболее эффективной снова будет реализация при помощи односвязного линейного списка (см. лекцию 10).

Операции

Для очереди должны быть определены следующие операции:

empty(<нач_очереди>):boolean	- проверка очереди на пустоту;
add(<кон_очереди>,<нов_эл-т>):<кон_очереди>	- добавление элемента в конец очереди ;
take_beg(<нач_очереди>):<тип_эл-тов_очереди>	- считывание значения первого элемента;
take_end(<кон_очереди>):<тип_эл-тов_очереди>	- считывание значения последнего элемента;
del(<нач_очереди>):<нач_очереди>	- удаление элемента из начала очереди.

Дек

Дональд Кнут¹⁾ ввел понятие усложненной очереди, которая называется дек (deque - D ouble- E nded QUE ue - двухконцевая очередь ). В каждый момент времени у дека доступны как первый, так и последний элемент, причем добавлять и удалять элементы можно и в начале, и в конце дека. Таким образом, дек - это симметричная двусторонняя очередь.

Реализация дека при помощи массива ничем не отличается от реализации обычной очереди, а вот в терминах списков дек удобнее представлять двусвязным (разнонаправленным) линейным списком (см. лекцию 10).

Набор операций для дека аналогичен набору операций для очереди, с той лишь разницей, что добавление и удаление элементов можно производить и в конце, и в начале структуры.

Рекурсия

В математике, да и не только в ней одной, часто встречаются объекты, определяемые при помощи самих себя. Они называются рекурсивными.

Например, рекурсивно определяется функция факториал:

0! =1

n! = n*(n-1)!, для любого натурального n.

Другим примером рекурсивного определения может послужить определение арифметического выражения, приведенное в лекции 2.

Рекурсивные подпрограммы

В программировании рекурсивной называется подпрограмма, исполнение которой приводит к ее же повторному вызову.

Если подпрограмма просто вызывает сама себя, то такая рекурсия называется прямой. Например:

procedure rec1(k: byte); function rec2(k: byte): byte;

begin begin

... ...

rec1(k+1); x:= rec2(k+1);

... ...

end; end;

Если же несколько подпрограмм вызывают друг друга, но эти вызовы "замкнуты в кольцо", то такая рекурсия называется косвенной.

В случае косвенной рекурсии возникает проблема с описанием подпрограмм: по правилу языка Pascal, нельзя использовать никакой объект раньше, чем он был описан. Следовательно, невозможно написать в программе:

procedure rec_А(k: byte);

begin

...

reс_В(k+1);

...

end;

procedure rec_В(k: byte);

begin

...

rec_А(k+1);

...

end;

И здесь полезной оказывается возможность отрывать объявление подпрограммы от ее описания (см. лекцию 8). Например, для косвенной рекурсии в случае двух процедур, вызывающих друг друга ( rec_A -> rec_B -> rec_A ), нужно такое описание:

procedure rec_А(k: byte); forward;

procedure rec_В(k: byte);

begin

...

reс_А(k+1);

...

end;

procedure rec_A;

begin

...

rec_В(k+1);

...

end;

Пример рекурсивного алгоритма

Задача. Двумерный массив целых чисел представляет цвета клеток рисунка. Найдите самую большую связную область одного цвета. (Связи по диагонали не учитываются.)

Алгоритм решения

Будем считать, что цвета задаются целыми положительными числами. В процессе работы программы будем изменять значения пройденных клеток на 0. Кроме того, обрамим исходный массив каймой из нулей, чтобы предотвратить выход за его границы без дополнительных проверок на каждом шагу рекурсии. Теперь массив будет задан не как

array[1..N,1..M] of byte;

а как

array[0..N+1,0..M+1] of byte;

Теперь опишем рекурсивную процедуру, делающую по массиву один "шаг вперед":

Пока в массиве еще остаются не посещенные клетки (их пометка отлична от нуля), мы будем "шагать" на любую из них и проверять оказавшийся "под ногами" цвет.

1. Если цвет новой клетки не совпадает с цветом предыдущей "посчитанной" клетки, то нам она не нужна. Сделаем шаг назад. Если этот шаг выводит нас из массива наружу, то это означает, что мы просмотрели все клетки одной связной области: пора сравнивать их количество с ранее найденным максимумом.

2. Если клетка помечена тем же номером, что и предыдущая, увеличим счетчик найденных клеток, изменим пометку этой клетки на 0, а затем шагнем снова: поочередно вверх, вниз, влево и вправо (последовательность не принципиальна). Здесь важно понимать, что шагнем мы только в одну сторону, а остальные просто запомним. И лишь после того, как мы вновь возвратимся в эту же клетку, мы "вспомним", что из нее мы еще не пытались уйти туда-то и туда-то, и продолжим этот процесс.

После того как мы посетим все клетки, найденный максимум можно будет объявить итоговым.

Замечание. Рекурсивный алгоритм обхода можно представить в двух вариантах: "посмотрел-шагнул" и "шагнул-посмотрел". Другими словами, в первом случае мы сначала выбираем подходящее место для шага вперед и только потом делаем этот шаг (что очень хорошо сообразуется с правилами передвижения, скажем, по болоту). Во втором же случае мы сначала делаем шаг вперед и только потом проверяем, что же именно оказалось у нас под ногами. Все-таки "ходим" мы не по болоту и в любой момент можем "спастись" из неправильно выбранной клетки.