Теоремы о пределах. Глава 3. Раздел 1
.pdfЛектор Лисеев И.А. Кафедра высшей математики МИИГАиК.
ГФ Первый курс Осень 2011
3 ∙ 45 мин. Печать 22-09-2011
Редактирование 22-09-2011
Глава 3. Теоремы о пределах
(Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность.)
|
|
Глава 3. Теоремы о пределах |
|
||
|
§1. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ УТВЕРЖДЕНИЯ |
5 |
|||
1. |
Единственность предела |
|
2. Предел константы....................................................... |
5 |
|
3. |
Неизменность предела при удалении или приписывании членов последовательности. ................... |
6 |
|||
4. |
Теорема о нулевом пределе. |
5. Теорема о сохранении знака.................................... |
7 |
||
|
§2. Ещѐ две теоремы ................................................................................................................................... |
|
|
7 |
|
1. Сходимость подпоследовательности. ........................................................................................................ |
|
|
7 |
||
2. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей. ........................................................... |
8 |
||||
3. |
Как появилось в математике число е ? .................................................................................................... |
|
|
8 |
|
|
§3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ...... |
9 |
|||
1.Бесконечно малые. |
|
2. Бесконечно большие. ............................................... |
10 |
||
3. Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. ............................. |
10 |
||||
|
§4. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ................................. |
11 |
|||
1. |
Сравнение бесконечно малых. |
2. Сравнение бесконечно больших. ............................... |
13 |
||
3 . Использование эквивалентност ей при вычислении пределов . ........................................ |
13 |
||||
|
§ 5. Связь переменной величины и еѐ предела |
...................................................................................... |
14 |
||
|
§6. ПРЕДЕЛЫ РЕЗУЛЬТАТОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ ................ Понятие неопределѐнностей |
15 |
|||
1. |
Свойства линейности предельного перехода. ............. |
2. Предел произведения и частного |
15 |
||
3. |
Случаи бесконечных пределов. Неопределѐнности ................................ Символические записи … |
16 |
|||
|
§ 7. ПРЕДЕЛ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ...................................................................................................... |
|
|
20 |
|
1. Ограниченность величин, имеющих конечный предел. ........................................................................ |
20 |
||||
2. Обязательно ли ограниченная величина имеет предел ........................................................................? |
21 |
||||
|
§8. Произведение бесконечно малой на ограниченную ....................................................................... |
22 |
|||
|
§ 9. ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ ............................................................................... |
23 |
|||
1. Теорема для последовательностей. |
................................. |
2 . Теорема для функций |
24 |
||
|
§ 10. ТЕОРЕМА О "ЗАЖАТОЙ" переменной ........................................................................................ |
|
24 |
||
1. Теорема для последовательностей. |
................................. |
2 . Теорема для функций |
25 |
||
|
§11. Теорема об односторонних пределах ............................................................................................... |
|
26 |
||
|
§ 12. Замена переменной при вычислении предела ..........................(предел сложной функции) |
28 |
|||
1. |
Теорема. |
2. Примеры. |
|
3 . Вычисление предела показательно |
|
степенной функции........................................................................................................................................ |
|
|
|
30 |
|
|
|
§ 13. Предел обратной функции ………… |
|
||
|
§ 14. Два замечательных предела.............................................................................................................. |
|
|
31 |
|
|
§ 15. Таблица эквивалентностей ................................................................................................................ |
|
|
32 |
|
|
§ 16. Использование эквивалентностей при вычислении ..................................................пределов |
33 |
2
Высшая математика (Ли…) |
Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах. |
Г л а в а 3 . Т Е О Р Е М Ы О П Р Е Д Е Л А Х
Теоремы о пределах, как правило, можно формулировать и для последовательностей, и для функций. В каком-то случае мы будем приводить какую-либо одну теорему (либо для последовательности, либо для функции), а иногда приведѐм и обе теоремы. Эти теоремы всегда похожи по сути. Ведь последовательности, можно сказать, являются частным случаем функций.
|
И ещѐ, напомним некоторые вещи, связанные с терминологией и с некоторыми нашими дого- |
||||||
ворѐнностями. |
|
|
|
|
|
||
|
Множество, получающееся при добавлении к множеству действительных чисел |
R элементов |
|||||
с + , с – |
(где с R ), мы обозначаем |
R + . Это множество конечных чисел. |
|
||||
|
Множество, получающееся при добавлении к множеству действительных чисел |
R элемента |
|||||
, |
мы обозначаем R . |
|
|
|
|
|
|
|
Множество, получающееся при добавлении к множеству действительных чисел |
R элементов |
|||||
, |
+ , |
– , с + , с – |
(где с R ), |
мы обозначаем +. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы , + , – , с + , |
с – |
, входящие в состав расширенных множеств, мы называ- |
||||
ем |
п с ев д о ч и с л а м и , |
а сами получающиеся множества мы называем |
ра сш ир енн ым и ч и - |
||||
слов ыми мн о жес тв ам и . |
|
|
|
|
|||
|
Элементы этих расширенных числовых множеств мы называем |
ч ис ла ми в ш ир ок о м |
|||||
см ыс ле . |
|
|
|
|
|
||
|
Если мы допускаем, что некоторая величина принимает значения не только из |
R , но также |
|||||
может принять какое-нибудь из значений |
, + , – , с + , с – , то мы обозначаем еѐ через , |
θи т. п.
Аесли имеем в виду, что переменная принимает значения только из R, то мы используем
обозначения : х 0 , а , с , А , В |
и т.п. |
Поясним связь между просто пределами и пределами с плюсиками и минусиками. ….. |
|
С помощью обозначений |
с + , с – , А + , А – мы указываем дополнительную информацию о |
переменной величине, стремящейся к данному пределу. Плюсик ( + ) в качестве верхнего индекса указывает, что переменная величина, приближаясь к своему пределу, остаѐтся больше этого предела (в какой-то окрестности этого предела). Минусик ( – ) в качестве верхнего индекса указывает, что переменная величина, приближаясь к своему пределу, остаѐтся меньше этого предела (в какой-то окрестности этого предела).
Запись z c объединяет все возможности стремления переменной величины к своему предельному значению. Подходя к пределу переменная величина может оставаться больше своего предельного значения (тогда пишут z c + ), может оставаться меньше своего предельного значения (тогда пишут z c – ), может колебаться (быть то меньше, то больше) около своего предельного значения.
Если мы не хотим (или не можем) конкретизировать характер подхода переменной величины к своему пределу, то вместо z c + и z c – мы пишем z c .
3
Высшая математика (Ли…) |
Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах. |
То же самое и с бесконечным пределом. Если некоторая переменная величина неограниченно |
растѐт по модулю, то мы говорим, что она имеет пределом бесконечность (просто бесконечность без знака). Если же при этом мы уточняем, что приближаясь к своему пределу (бесконечности), величина (в какой-то окрестности бесконечности) остаѐтся положительной, то мы говорим (пишем),
что она имеет пределом + |
( |
+ |
). Если же мы уточняем, что приближаясь к своему пределу |
||
|
|||||
(бесконечности), |
величина (в какой-то окрестности бесконечности) остаѐтся отрицательной, то мы |
||||
говорим (пишем), что она имеет пределом – |
( – ). 1 |
||||
Запись z |
означает, |
что переменная величина неограниченно растѐт по модулю.. При |
этом переменная величина (начиная с какого-то момента) может быть всѐ время положительной (тогда пишут z + ), может быть всѐ время отрицательной (тогда пишут z – ), а может колебаться (быть то положительной, то отрицательной2).
Если мы не хотим (или не можем) конкретизировать знак, который имеет переменная величи-
на при подходе к бесконечности, то вместо z + ∞ |
или z |
– ∞ |
мы пишем |
z ∞ . |
|||
В этом нашем разговоре бесконечность не сильно отличается от обычного конечного числа. И |
|||||||
это наглядно демонстрируется схематическим рисунком, |
|
|
– |
|
+ |
||
|
|
|
|
|
|||
|
– ) и правую (с |
+ ) |
|
|
|
||
на котором мы загибаем левую (с |
|
|
|
|
|
||
части числовой оси и соединяем |
(почти соединяем) их в |
|
|
|
|
|
|
точке (псевдоточке), которую называем бесконечной точ- |
|
с – |
|
|
|
||
кой (бесконечностью: ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с + |
|
|
|
|
Этот же рисунок, как вы, наверное, помните, |
хоро- |
с |
|
0 – |
0 + |
||
|
|
шо иллюстрирует и понятие окрестностей бесконечности.
Как и у конечных точек, у бесконечной точки (у бесконеч- |
0 |
|
ности) также получаются односторонние окрестности: окрестность + и окрестность – .3 Вместо обозначений +∞ и –∞ можно было бы использовать обозначения ∞+ и ∞–.
В обозначении lim ( ) под предельной точкой (под предельным значением) для аргумента мы
понимаем точку (значение, число), |
к которой (к которому) |
стремится аргумент. |
||||||||||||||||||||
Предельной точкой (значением, числом) могут быть либо конечные точки (числа) из R , либо конеч- |
||||||||||||||||||||||
ные "левосторонние" и "правосторонние" |
псевдочисла |
с – и с + , либо бесконечности (их тоже мы счи- |
||||||||||||||||||||
таем псевдочислами) , |
+ и |
– . |
Термин "псевдочисла" мы используем, когда хотим подчеркнуть |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отличие этих объектов (величин, элементов) от обычных чисел из R . А так, говоря о числах, мы можем иметь в виду и расширенное толкование понятия числа. Всѐ должно быть ясно из контекста.
1В этом абзаце, говоря о переменной величине, мы подразумевали независимую переменную. В случае функции надо говорить не "в какой-то окрестности этого предела", а "в какой-то окрестности предельной точки". Предельная точка – это точка, число, к которому стремится аргумент.
2Заметим, что такая ситуация может быть только для последовательностей. В случае непрерывной функции она может стремиться к бесконечности только определѐнного знака. Хотя, не уточняя знака, часто пишут, что функция стремится просто к бесконечности.
3Правда, есть некоторое различие в сути обозначений. Вспомним компьютерную интерпретацию этих символов.
Под с + мы понимаем какое-либо число, бóльшее, чем с , но на данном компьютере, представимое, как с . Под с – мы понимаем какое-либо число, мéньшее, чем с , но на данном компьютере, представимое, как с . С бесконечностями дело
обстоит чуть иначе. Там речь идѐт не о больше-меньше, а о положительности |
и отрицательности. Под + мы пони- |
маем наибольшее представимое в данном компьютере положительное число. |
Под – мы понимаем наименьшее |
представимое в данном компьютере отрицательное число. |
|
4 |
|
ГФ Первый курс Осень 2009 |
Высшая математика |
Лисеев И.А. |
§ 1 . Н Е К О Т О Р Ы Е П Р О С Т Е Й Ш И Е У Т В Е Р Ж Д Е Н И Я |
||
1 . Еди нст венност ь пр еде ла . |
|
|
В а ж н о …. Если не уточнять, что предел равен с + , с – , + , - , |
а иметь в ви- |
ду, что предел может быть равен только просто какому-то значению с R или просто , то можно говорить о единственности предела последовательности или функции.
Т е о р е м а . Пусть последовательность { x n } имеет конечный предел A R ,
lim |
x n |
= A . Тогда у последовательности { x n } в R нет другого предела отлич- |
|||||
ного от |
A . |
|
|
|
|
|
|
x n |
|
|
# |
От противного…. (для конечного предела) Пусть есть ещѐ пре- |
|||
|
|
дел |
lim x n |
= В A . |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Возьмѐм около точек А и В непересекающиеся окрест- |
||||
|
|
|
|
||||
В |
|
|
ности U(A) и |
U(B) . Такие окрестности существуют … Можно |
|||
|
|
|
|
- окрестность с = | А – В |/ 3 . |
|
||
|
|
n |
взять, например, |
Если li m x n |
|||
|
|
|
= A , то после некоторого номера n1 |
будет: |
xn U(A). |
||
Если |
lim x n = B , |
то после некоторого номера n 2 будет: |
xn U(B). |
||||
|
После большего из этих номеров значения должны находиться одновременно в |
обеих этих окрестностях, что невозможно, так как эти окрестности не пересекаются. #
Кратко эту теорему можно сформулировать так …
С х о д яща яс я п о с л е до в а те л ьн о с ть 4 и м е е т в R
еди н с тв е н н ый п р е де л .
За м е ч а н и е . Теорема о единственности предела имеет место и тогда, когда преде-
лом является (просто бесконечность).
2 . Пр еде л ко нст ант ы .
. Пусть имеется последовательность { x n } и с R .
Если все |
x n = c , то lim xn = c.5 |
|
|
Кратко … |
|
П р е д е л п о с то ян н о й в е л и ч и н ы р а в е н |
|
|
|
с а м о й э то й в е л и ч и н е |
lim с = c. |
|
|
|
|
|
Доказательство..... |
|
4Сходящаяся последовательность – это последовательность, которая имеет конечный предел.
5Иногда в записи предела последовательности lim →∞ не пишут, что n : lim . Поступают так по-
тому, что других вариантов, кроме как n тут и нет. Но студентам на экзамене лучше писать, что n . Иначе вас начнут спрашивать, является ли x n переменной величиной, и откуда это видно, что она меняется.
5
Высшая математика (Ли…) |
Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах. |
3 . Н еиз менно ст ь |
пр еде ла пр и уда лен ии ил и пр и пис ы ва нии чл е - |
но в по сле до ва т ельно ст и .
Т е о р е м а . Пусть мы отбросили или приписали к последовательности конечное число членов. Тогда:
|
1) |
если она имела предел конечный или бесконечный ( + ) , то она и |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет иметь тот же предел, |
|||||||||||||||||||||||||
|
2) |
если она не имела предела, то и не будет иметь предела. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Кратко … |
П р и п и с ыв а н и е и л и о т б р а с ыв а н ие к о н е ч н о г о ч и с л а |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч л е н о в н е м е н яе т ф а к та с х о ди м о с ти |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
и л и р а с х о ди м о с т и п о с л е до в а те л ьн о с ти . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналог этой теоремы для функций утверждает, что при рассмотрении предела
lim ( ) можно совсем не интересоваться поведением функции вне некоторой
→
окрестности точки . Можно ограничиться рассмотрением функции только в какой-
то малой окрестности точки (для окрестности бесконечностей слово "малая" , правда, не очень-
то подходит).
Поэтому при x + в выражении lim + |
|
∙ ( ) |
можно заменить |x| |
|||||||||||||||||||
на просто х: lim + ∙ ( ) = |
|
lim + ∙ ( ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
А при x – в выражении lim + |
∙ ( ) |
можно заменить |x| на |
||||||||||||||||||||
–х: lim + ∙ ( ) |
= |
lim + (−) ∙ ( ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 . Тео р е ма о нул ево м пр еде ле . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теорема для функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
lim |
= 0 , |
то и lim | | = |
|
0 . |
|
|
|
||||||||||||||
И обратно, |
если |
lim | |
| = |
0 , |
то и |
|
lim |
= |
0. |
|
||||||||||||
|
|
|
lim | | |
= |
0 |
|
|
|
|
lim |
= 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема для последовательностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
lim |
|
= |
0 , |
|
то и |
lim |
|
| |
|
| = |
0 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И обратно, |
если |
lim |
|
| |
|
| |
= |
0 , то и |
|
lim |
|
|
= |
0. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lim | |
|
| |
= |
0 |
|
|
|
|
lim |
|
|
= |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
…… |
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
ГФ Первый курс Осень 2009 Высшая математика Лисеев И.А.
5 . Тео р е ма о со х р а нен ии з на ка .
Можно пропустить?. При рассмотрении предела функции lim→ ( ) = предельная точка аргумента – это значение, к которому стремится аргумент функции.
Т е о р е м а . (теорема о сохранении знака в окрестности предельной точки)
Если при х ( –конечное или бесконечное) функция имеет (конечный или
бесконечный определѐнного знака) предел l i m f ( x ) , то существует некоторая
x
проколотая окрестность , в которой функция f(x) имеет тот же знак, что и .
Рисунок.
Пояснение. Если, допустим, = + , то в некоторой окрестности функция f(x) будет положительной.
Говоря о пределе функции при х мы всегда предполагаем, что функция определена в некоторой (двусторонней проколотой) окрестности . Если у нас с "плюсиком" или с "минусиком", то мы предполагаем, что функция определена в некоторой определѐнной односторонней окрестности. Как мы уже отмечали, в серьѐзных математических учебниках, правда, рассматривают более сложные ситуации.
§ 2 . ЕЩЁ Д В Е ТЕОРЕМЫ
Здесь мы рассмотрим теоремы о сходимости последовательностей.
Напомним, что последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.
1 . Сх о димо ст ь по дпо с ледо ват ел ьно ст и .
О п р е д е л е н и е . Пусть имеется последовательность {xn }: |
|
x 1 , x 2 , . . .. . .. , x n , . . . |
( * ) |
Пусть из этой последовательности мы выбрали какие-то еѐ члены (бесконечное
число членов) и из них (без изменения порядка их следования) составили новую последова-
тельность
x n 1 , x n 2 , .. . .. . . , x n k , . . . .
Эта составленная последовательность называется по дпо с ледо ват ель н о - ст ью исходной последовательности ( * ) .
Т е о р е м а . Если последовательность { x n } имеет конечный или бес-
конечный предел , то любая еѐ подпоследовательность { x n k }
имеет тот же предел .
Здесь предполагается, что R или ∞, то есть предел может равняться либо просто
с , либо просто . И не рассматриваются возможности равенства предела символам с плюсиками и минусиками.
7
Высшая математика (Ли…) |
Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах. |
2. Сходимость монотонных ограниченных последовательностей.
Т е о р е м а 1 . Ограниченная сверху и возрастающая или неубывающая последовательность имеет конечный предел.
рис....
Т е о р е м а 2 . Ограниченная снизу и убывающая или невозрастающая последовательность имеет конечный предел.
рис....
Эти две теоремы можно объединить в одну.
Т е о р е м а (объединѐнная теорема). Ограниченная монотонная
последовательность имеет конечный предел.
З а м е ч а н и е . Теорема о существовании предела у ограниченных монотонных последовательностей имеет место, если мы имеем в виду всѐ множество действительных чисел. Она не имела бы места, если бы мы рассматривали множество только рациональных чисел.
3 . Ка к по я ви ло с ь в мат емат ик е ч исло е ?
Математики рассматривали последовательность = (1 + 1) .
Рисунок …
Эта последовательность { a n } возрастает и ограничена сверху (доказательство это-
го любознательные студенты могут посмотреть в учебниках математики). Следовательно, суще-
ствует предел этой последовательности.6 Его и обозначили через е в честь математика Эйлера (1707-1783). Таким образом, е – это по определению
|
|
|
|
= |
(1 + |
|
1 |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Значение е можно найти, посчитав член последовательности при достаточно |
||||||||||||||||||||||||||
большом n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При n = 100 будет |
(1 + |
|
|
1 |
|
) |
= |
2,705 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а при n = 500 будет |
(1 + |
|
1 |
) |
= |
2,716. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При n = 1 000 будет |
(1 + |
|
|
1 |
) |
= |
2,717 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Впрочем, есть и другие подходы к нахождению е. |
Можно воспользоваться |
|||||||||||||||||||||||||
бесконечными суммами. Математики доказали, что число е |
равно такой сумме |
|||||||||||||||||||||||||
бесконечного числа слагаемых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
= 1 + |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ … + |
|
+ … |
|
|
|||||||||||
1! |
2! |
3! |
! |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
6 Можете посмотреть график функции |
= |
|
|
|
1 + |
(мы его уже рисовали). |
Если мы от этого графика оста- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||
вим только точки для значений х = 1, 2, 3, … , то получим "график" последовательности = 1 + |
||||||||||||||||||||||||||
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГФ Первый курс Осень 2009 |
Высшая математика |
Лисеев И.А. |
Ограничившись в этой сумме некоторым числом слагаемых, мы получим при- |
||
ближѐнное значение е. |
Чем бóльшее число слагаемых мы возьмѐм, тем более точное |
|
значение мы получим. |
С одиннадцатью слагаемыми (при |
n = 1 0 ) получаем: |
е = 2 , 7 1 8 2 8 1 8 1 . |
|
|
На компьютере можно посчитать е с любой нужной точностью. С 15 знаками
вдробной части это число равно …
е= 2 , 7 1 8 2 8 1 8 2 8 4 5 9 0 4 5 … 7
Математики доказали, что число е – иррациональное, поэтому его десятичная запись бесконечна и без периода.
§3 . Б Е С К О Н Е Ч Н О М А Л Ы Е И Б Е С К О Н Е Ч Н О Б О Л Ь Ш И Е
ПЕ Р Е М Е Н Н Ы Е В Е Л И Ч И Н Ы
Переменные величины – это либо независимые переменные величины, либо функции, либо последовательности. Здесь мы будем говорить о последовательностях и функциях.
Здесь при разговоре о пределе функции предельное значение аргумента у нас может при-
надлежать + .
1 . Бе ско н еч но ма л ые .
Бесконечно малые переменные величины – это переменные величины, стремящиеся к нулю (имеющие предел, равный нулю). Но дадим точные определения.
О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } называется б е с к о н е ч н о м а л о й , если
lim = 0 .
→
О п р е д е л е н и е . Функция ( х ) называется б е с к о н е ч н о м а л о й п р и х ,
если
lim ( ) = 0 .
→
В частности предел может быть равен 0 + или 0 – .
Приведѐнные определения бесконечно малых последовательностей и функций можно назвать краткими определениями бесконечно малых. Если расписать ещѐ определение нулевого предела, то получим следующие подробные (полные) определения бесконечно малых.
О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } называется б е с к о н е ч н о м а л о й , если
для любого |
> 0 найдѐтся n 1 такое, что при всех n > n 1 выполняется неравенство |
|
|
| x n | < . |
|
О п р е д е л е н и е . Функция (х) называется б е с к о н е ч н о м а л о й п р и х , если |
||
для > 0 |
существует U ( ) такая, что для всех х |
U ( ) выполняется неравенство |
|
| ( x ) | < |
. |
7 1828 – это, между прочим, год рождения Льва Толстого.
9
Высшая математика (Ли…) Раздел 1. Функции, пределы, непрерывность. Гл. 3. Теоремы о пределах.
Это определение можно конкретизировать (формализовать) (записать с помощью неравенств) для различных , конечных или бесконечных.
В о п р о с . Является ли число 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 бесконечно малым? А почему? А какое число всѐ же можно считать бесконечно малым?
Пояснения. Бесконечно малая – это не число, а переменная величина. Разве что только число ноль можно назвать бесконечно малой величиной, если рассматривать его как переменную величину, принимающую только нулевые значения. Такая переменная величина подпадает под определение бесконечно малой ( lim 0 = 0 ) . (Впрочем, такую величину хочется называть не переменной, а постоянной.) (Но мы давайте придерживаться позиции, что постоянная – это частный случай переменной величины, когда эта переменная величина принимает всѐ время одно и то же значение.)
2 . Бес ко не чно бо л ь шие .
Так же, как и для бесконечно малых величин здесь мы дадим краткие и подробные определения. Начнѐм с кратких определений.
О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } |
называется б е с к о н е ч н о б о л ьшо й , |
||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
= . |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . Функция ( х ) называется б е с к о н е ч н о |
б о л ь шо й п р и х , |
||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim ( ) = . |
|
|
|
|
||
|
→ |
|
|
|
|
|
|
В частности, предел может быть равен + или |
– . |
|
|
||||
Если расписать ещѐ определение бесконечного предела, то получим следующие |
|||||||
подробные определения бесконечно больших. |
|
|
|
|
|||
О п р е д е л е н и е . Последовательность { x n } называется б е с к о н е ч н о б о л ь ш о й , если |
для |
||||||
любого M > 0 |
найдѐтся такое n 1 , что при всех n > n 1 |
выполняется неравенство |
|
||||
|
| x n | > M . |
|
|
|
|
||
О п р е д е л е н и е . Функция ( х ) называется б е с к о н е ч н о |
б о л ь ш о й п р и х , |
если |
|||||
для М > 0 |
существует U ( ) такая, что для всех х |
U ( ) выполняется неравен- |
ство
| ( x ) | > M .
3 . Со от но шение м еж ду б ес ко не чно ма л ым и и б ес ко не чно бо л ь -
ш и ми ве ли чи на м и .
. Если последовательность { x n } – бесконечно малая и все еѐ члены отличны от нуля, то определена последовательность
{ 1 / x n } , и эта последовательность – бесконечно большая. И обрат-
но, если { n } – бесконечно большая и n 0 , то определена последовательность { 1 / n } , и она – бесконечно малая.
10