III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1166 на доске и в тетрадях.

Примечание. В ходе решения этой задачи полезно подчеркнуть, что поворот вокруг точки на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом вокруг этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.

2. Решить задачи № 1167 и №1169 (учащиеся могут выполнить эти задания самостоятельно с последующим обсуждением).

3. Полезно предложить учащимся самостоятельно изучить решение задачи № 1171 (а), приведенное в учебнике, выполнить необходимые построения, а затем можно обсудить это решение. Важно подчеркнуть, что решение рассмотренной задачи дает еще один способ построения прямой, на которую отображается данная прямая при повороте вокруг данной точки.

4. Рассмотреть с учащимися следующие задачи:

1) Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата.

2) Докажите, что при повороте правильного треугольника АВСвокруг вершиныАна 60° либо вершинаВпереходит в вершинуС, либо вершинаСпереходит в вершинуВ.

5. Решить задачу № 1170 (б).

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

1. В трапеции АВСDбоковые стороныАВиСDравны.

1) Постройте отрезок СА₁, на который отображается сторонаАВпри параллельном переносе на вектор.

2) Найдите площадь треугольника А₁СD, еслиАD= 10 см,ВС= 4 см,АВ= 6 см.

2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя.

Вариант II

1. Точка М– середина стороныАСтреугольникаАВС.

1) Постройте отрезок МВ₁, на который отображается сторонаАВпри параллельном переносе на вектор.

2) Найдите периметр треугольника МDС, гдеD– точка пересечения отрезковВСиМВ₁, если периметр треугольникаАВСравен 12 м.

2. Докажите, что правильный пятиугольник при повороте на 72° вокруг своего центра отображается на себя.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание:изучить материал пунктов 116–117; ответить на вопросы 14–17, с. 304 учебника; решить задачи № 1168, 1170 (а), 1171 (б), 1183; подготовиться к устному опросу по карточкам, повторив материал пунктов 113–114.

Урок 7 Решение задач

Цели:закрепить знания учащихся по теме «Движения», развивать умение решать задачи с применением движений.

Ход урокa

I. Устный опрос учащихся по карточкам.

Карточка 1

1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

2. Докажите, что параллельный перенос является движением.

3. Точка М– середина стороныВСправильного треугольникаАВС, точкиNиKсимметричны точкеМотносительно прямыхАВиАС. Докажите, чтоNK АМ.

Карточка 2

1. Что такое движение плоскости?

2. Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

3. На окружности с центром Ои радиусомrотмечена точкаА. Постройте окружность, на которую отображается данная окружность при повороте вокруг точкиАна 60° по часовой стрелке.найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения данной и построенной окружностей.

Карточка 3

1. На какую фигуру отображается при движении отрезок?

2. Докажите, что центральная симметрия является движением.

3. Дан равнобедренный треугольник АВСс основаниемВС. Постройте точкиDиЕ, на которые отображаются точкиАиСпри параллельном переносе на вектор, и докажите, чтоАЕ=DВ.

Карточка 4

1. На какую фигуру отображается при движении треугольник?

2. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.

3. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСDявляется его центром симметрии. Докажите, чтоАВСD– параллелограмм.

II. Решение задач.

1. На этих уроках рекомендуется рассмотреть простые задачи, причем большинство из них целесообразно решать в ходе обсуждения с учащимися. Это относится к задачам №№ 1172, 1173, 1177, 1180.

2. Полезно обсудить и решения задач № 1176, №1178.

3. Задачи №№ 1174, 1175, 1181 и 1182 можно предложить учащимся решить самостоятельно, а затем обсудить полученные решения.

Решения

1) задача № 1172.

Поскольку точки АиВотображаются на себя, то и прямаяАВотображается на себя. ПустьМ– произвольная точка прямойАВ. Она отображается в некоторую точкуМ₁, также лежащую на прямойАВ. По определению движенияАМ=АМ₁,ВМ=ВМ₁. Допустим, что точкаМ₁не совпадает с точкойМ. Тогда из первого равенства следует, что точкаА– середина отрезкаММ₁, а из второго равенства, что точкаВтакже середина отрезкаММ₁. Значит, точкиАиВсовпадают, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, то есть точкиМиМ₁совпадают. Итак, любая точка прямойАВотображается на себя.

2) Задача № 1173.

Пусть g– данное движение, ае– тождественное отображение плоскости на себя, то есть отображение, при котором каждая точка плоскости и, в частности, каждая вершина треугольникаАВСотображается на себя. Ясно, чтое– движение, поэтому согласно задаче № 1155 движенияgиесовпадают, и, значит, движениеgявляется тождественным отображением плоскости на себя.

3) Задача № 1180.

Рассмотрим поворот вокруг точки Она 120° в направлении обхода по дугеАВСот точкиАк точкеС. Так какАОВ=ВОС=СОА= 120° иОА=ОВ=ОС, то при этом повороте точкаАотображается в точкуВ, точкаВ– в точкуС, точкаС– в точкуА. Аналогично при этом же повороте точкиА₁,В₁,С₁отображаются соответственно в точкиВ₁,С₁иА₁.

Следовательно, прямая АА₁отображается на прямуюВВ₁, прямаяВВ₁– на прямуюСС₁, прямаяСС₁– на прямуюАА₁.

Отсюда следует, что если прямая АА₁проходит через точкуО, то прямыеВВ₁иСС₁также проходят через эту точку.

Если же прямая АА₁не проходит через точкуО, то и прямыеВВ₁иСС₁не проходят через эту точку и, попарно пересекаясь, образуют некоторый треугольникМNР. Ясно, что при рассматриваемом повороте точкаМпересечения отрезковАА₁иВВ₁отображается в точку пересечения отрезковВВ₁иСС₁. Аналогично точкаNотображается в точкуРпересечения отрезковСС₁иАА₁, а точкаР– в точкуМ. Следовательно,МN=NP=PМ, то есть треугольникМNР– равносторонний.

Домашнее задание:подготовиться к контрольной работе: повторить материал пунктов 113–117 и ответить на вопросы 1–17, с. 303–304 учебника; решить задачи №№ 1219, 1220, 1221, 1222.