- •Несобственные интегралы I и II рода
- •Приближенные методы вычисления определенных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.10. Кратные интегралы
- •Частные случаи интегралов по фигуре (кратных интегралов) Определенный интеграл
- •Двойной интеграл
- •Тройной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла
- •Приложения двойных интегралов
- •Ответы на тестовые задания
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Решение
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Ответы на тестовые задания
- •2.12. Ряды Числовые ряды
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •Знакочередующиеся ряды и знакопеременные ряды
- •Ответы на тестовые задания
- •Степенные ряды
- •Понятие степенного ряда
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
- •Ответы на тестовые задания
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия 8
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения 91
- •Высшая математика
- •Общий курс
- •Пособие
- •По подготовке к тестированию для студентов заочной формы получения высшего образования экономических специальностей
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
- •246029, Г. Гомель, просп. Октября, 50.
Ответы на тестовые задания
Номер теста |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
Правильный ответ |
4 |
3 |
3 |
1 |
1 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
5 |
2) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
f(x), (12)
где p и q – постоянные;
функция f(x) – непрерывная.
Общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде
где y0(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения;
yn(x) – частное решение неоднородного уравнения.
Тест 31. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 32. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 33. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами f(x) имеет вид:
1)
2) где– общее решение соответствующего однородного уравнения;
3)
4) , где– частное решение неоднородного уравнения;
5) где– общее решение соответствующего однородного уравнения,– частное решение неоднородного уравнения.
Несколько простейших случаев отыскания частных решений уравнения (12) приведены ниже.
1. Пусть в правой части уравнения (12) функция
f(x) (13)
где – многочлен степениn.
Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 4.
Таблица 4
Если не является корнем соответствующего характеристического уравнения |
Если – корень характеристического уравнения кратности 1 |
Если – корень характеристического уравнения кратности 2 |
(14) |
(15) |
(16) |
В равенствах 14–16 Qn(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.
Напомним, что если n = 0, то Qn(x) = A; n = 1, то Qn(x) = Ax + B; n = 2, то Qn(x) = Ax2 + Bx + C и т. д.
Пример 10. Определить вид частного решения уравнения
Решение
Запишем соответствующее однородное уравнение
1. Характеристическое уравнение k2 – 4k + 3 = 0 имеет корни k1 = 1; k2 = 3.
2. В правой части данного уравнения функция вида (13)
3. Здесь = 2 – не является корнем характеристического уравнения; – многочлен первой степени.
Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. = e2x(Ax + B).
2. Пусть в правой части уравнения (12) функция
f(x) (17)
где C1 и C2 – постоянные.
Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.
Таблица 5
Если i не являются корнями соответствующего характеристического уравнения |
Если i – корни характеристического уравнения |
(18) |
(19) |
Пример 11. Определить вид частного решения уравнения
Решение
Запишем соответствующее однородное уравнение
1. Характеристическое уравнение k2 + 4k – 2 = 0 имеет корни
2. В правой части данного уравнения функция вида (17) f(x) т. е.f(x)
3. Здесь = 0; = 2. Составленные из этих значений комплексные числа i = 0 2i не являются корнями характеристического уравнения.
Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. или
Тест 34. Характеристическое уравнение k2 – 4k + 3 = 0, соответ- ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корниk1 = 1; k2 = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 35. Характеристическое уравнение k2 – 4k + 4 = 0, соответ- ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет кореньk = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:
1)
2)
3)
4)
5)
После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.