- •Інтегральне числення функцій однієї змінної (конспект лекцій)
- •Таблиця інтегралів
- •Заміна змінної в невизначеному інтегралі (метод підстановки)
- •4.Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі
- •Інтегрування раціональних функцій
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції
- •8. Використання таблиць інтегралів
- •9. Поняття про інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •10. Приклади задач, що приводять до поняття визначеного інтеграла
- •2)Задача про шлях точки у прямолінійному русі.
- •11. Означення визначеного інтеграла
- •12. Основні властивості визначеного інтеграла
- •13. Інтеграл як функція верхньої межі. Формула Ньютона-Лейбніца
- •14. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі
- •15. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •16. Загальна схема застосування визначеного інтеграла
- •17. Обчислення площі плоскої фігури
- •18. Обчислення довжини дуги
- •19. Обчислення об’єму тіла
- •20. Обчислення площі бічної поверхні тіла обертання
- •21. Обчислення роботи змінної сили
- •22. Обчислення сили тиску рідини на вертикальну пластину
- •23. Невластивий інтеграл по нескінченному проміжку
- •24. Ознаки збіжності невластивого інтеграла по нескінченному проміжку
- •25. Невластивий інтеграл від необмеженої функції
- •26. Ознаки збіжності невластивого інтеграла від необмеженої функції
- •27. Наближене обчислення визначених інтегралів
18. Обчислення довжини дуги
1) Обчислення довжини дуги графіка функції в декартових координатах
Н
Рис. 10
Знайдемо похідну . Надамо зміннійприріст, функціяотримає приріст, а відповідний приріст функції- довжина малої дуги, де, а. За означенням довжиною дуги називається границя, до якої прямує довжина ламаної, вписаної в дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а найбільша з довжин ланок ламаної прямує до нуля. Звідси випливає, що нескінченно мала дуга і хорда, що її стягує, - еквівалентні нескінченно малі, тобто
.
Таким чином
Отже , і шукана довжина дуги дорівнює
.
Приклад. Обчислити довжину дуги кривої на відрізку . Знаходимо похідну: .
Тоді
2)Обчислення довжини дуги лінії, заданої параметричними рівняннями.
Потрібно обчислити довжину дуги лінії
яка відповідає зміні параметра віддо. Функції і вважаємо неперервно диференційовними, при чому при .
У формулі для довжини дуги виконаємо заміну змінної:
Отже
Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди
Знаходимо похідні ,.
Тоді
Обчислення довжини дуги лінії, заданої рівнянням у полярній системі координат.
Нехай дуга задана рівнянням на відрізку. Запровадимо декартову систему координат з початком у полюсі і додатною піввіссювздовж полярної осі. У цій системі координат рівняння заданої лінії запишеться у вигляді (див. рис. 11):
Це – параметричні рівняння, в яких параметром є полярний кут , отже для обчислення довжинизаданої дуги можна застосувати формулуЗнаходимо
Рис. 11
Таким чином довжина заданої дуги
Приклад. Обчислити довжину дуги кардіоїди при . Знаходимо ,
19. Обчислення об’єму тіла
Рис. 12
.
Це є формула об’єму тіла за площами паралельних перерізів.
Рис. 13
Приклад. Знайти об’єм тіла, одержаного обертанням навколо осі фігури , обмеженої лініями,,(об’єм параболоїда обертання з радіусом основиі висотою). Отримуємо .
Рис. 14