5. Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Означення. Раціональною функціє відзміннихназивається така функція, в якій над цими змінними і сталими числами виконується скінченне число чотирьох арифметичних дій.

Наприклад, раціональною функцією відносно змінних є функція.

Якщо змінні в свою чергу є функціями від, то ми говоримо про раціональну функцію відносно цих функцій. Так, функціяє раціональною функцію від функцій,, тобтоале відносно змінноїця функція не є раціональною.

Розглянемо деякі випадки, коли інтеграли від ірраціональних функцій належною підстановкою зводяться до інтегралів від раціональних функцій («раціоналізуються»).

1) Інтеграли вигляду раціоналізуються підстановкою, де- спільний знаменник дробів,…,.

Справді, якщо , то виражаючи через , одержуємо , тобто і виражаються через раціональні функції від . Далі, кожний степінь дробу виражається через цілий степінь змінної, і в результаті підінтегральна функція перетворюється в раціональну функцію від, що і було метою підстановки.

Приклад. Знайти інтеграл .

Виконаємо заміну змінної, поклавши , тоді ,.

2. Інтеграли вигляду .

Якщо тричлен має дійсні корені і, то, і інтеграл приймає вигляд , а це інтеграл уже розглянутого вигляду. Як у цьому випадку, так і у випадку відсутності дійсних коренів у тричлена , даний інтеграл можна раціоналізувати за допомогою підстановок Ейлера:

1. якщо , то .

2. Якщо , то

Приклад. Знайти інтеграл . Застосуємо другу підстановку Ейлера: , тоді , звідки , ,,.

В результаті отримуємо

Підстановки Ейлера завжди дозволяють раціоналізувати інтеграли вигляду , але застосування цих підстановок часто пов’язане з дуже громіздкими обчисленнями. Досить часто менш трудомістким виявляється обчислення таких інтегралів за допомогою так званих тригонометричних підстановок. При цому інтегралспочатку підстановкою (вилученням повного квадрата в підкорінному виразі) зводиться до одного з таких інтегралів:

а) б) в) ,

a ці інтеграли перетворюються в інтеграли вигляду підстановками відповідно а) ; б) ; в) .

Про обчислення інтегралів йтиме мова далі.

7. Інтегрування деяких виразів, що містять тригонометричні функції

1. Інтеграли , де - раціональна функція, завжди можуть бути раціоналізовані так званою універсальною підстановкою .

Тоді , звідки , крім того

Тому де - раціональна функція.

Приклад. Знайти інтеграл .

Застосовуючи універсальну підстановку, маємо:

Слід зазначити, що застосування універсальної підстановки приводить часто до дуже громіздких обчислень. Тому, там де можливо, використовують інші підстановки. Розглянемо деякі окремі випадки.

а) Функція непарна відноснo , тобто. В цьому випадку інтегралраціоналізується підстановкою. Зокрема так обчислюються інтеграли вигляду, якщо- непарне число . Справді,

, і ми одержуємо інтеграл від многочлена.

б) Функція непарна відноснотобто. В цьому випадку інтегралраціоналізується підстановкою. Зокрема, за допомогою цієї підстановки обчислюється інтеграл вигляду, якщо- непарне число.

в) Функція парна відносноі, тобто. В цьому випадку інтегралраціоналізується підстановкою.

Що до інтеграла вигляду при парних невід’ємнихі, то для його обчислення доцільно перетворити підінтегральну функцію за формулами подвоєння аргументу: ,. При необхідності це перетворення повторюють до отримання інтегралів, розглянутих вище у випадках а) і б).

г) Інтеграли вигляду ,,обчислюються за допомогою формул, які перетворюють добуток тригонометричних функцій в суму:

Приклади. Знайти інтеграли:

а) .

Підінтегральна функція непарна відносно , тому скористаємося підстановкою. Тоді,. Отримуємо

б)

в)

.

г)