m101

T = 4

l

α0

dα

= 2

l

α0

dα

.

(П 3)

∫0

g ∫0

2g

cos α - cos α0

sin2

α0

- sin2

α

2

2

sin

α

= u sin

α0

.

(П 4)

2

2

1

cos

α

dα = sin

α0

du .

(П 5)

2

2

2

Подставляя равенства (П 4) и (П 5) в (П 3), получим,

1

l

du

T = 4

∫0

,

(П 6)

g

(1 - u2 )(1 - k 2u2 )

α0

, кроме того, мы учли, что cos (α/ 2) =

где k = sin

1 - k 2 u2 .

2

интегрирования k 2u2 <1,

Так

как на всем

интервале

то функцию

(1 - k 2u2 )−1/ 2

можно разложить в ряд

1

1

1×3

1×3 ×…× (2n -

1)

∞

=1 +

k 2u2 +

k 4u4 +…+

k 2nu2n +…= ∑cnk 2nu2n ,

2 × 4 ×…× 2n

1 - k 2u2

2

2 × 4

n=0

где

c =1,

c =

1×3 ×…× (2n -1)

(n > 0) .

0

n

2 × 4 ×…× 2n

Подстановка этого выражения в (П 6) даёт следующее равенство

∞

1

2n

l

u

du

T = 4

∑cnk 2n ∫

,

g n=0

0

1 - u2

1

u

2n

du

π ,

∫

= cn

1 − u2

0

2

получим

∞

l

T = 2π

∑cn2k 2n .

g n=0

В развернутом виде это выражение примет вид

1

2

1×3

2

l

2

α

4

α

T = 2π

0

0

1

+

sin

+

sin

+ ...

2

× 4

2

g

2

2

1×3 ×...×

(2n -1)

2

2n

α

0

+

sin

+ ...

(П 7)

2 × 4 ×... × 2n

2

ное выражение зависимости периода колебаний от амплитуды

2

T = 2π

l

1

2

α

0

1

+

sin

.

(П 8)

g

2

2

Оглавление

Введение..............................................................................................................................................

1

Теоретическая часть...........................................................................................................................

1

Экспериментальная часть..................................................................................................................

5

Схема установки.............................................................................................................................

5

Порядок выполнения работы........................................................................................................

6

Обработка результатов измерений. ..............................................................................................

8

Контрольные вопросы. ......................................................................................................................

9

Приложение ......................................................................................................................................

10

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................................................

12