al09
.pdf3
9. Линейные пространства
Нам часто приходится рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение элементов множества и умножение элемента множества на число из некоторого поля K . Линейные операции
для матриц фиксированного размера и векторов на плоскости или в пространстве мы рассматривали в первом семестре (п.п. 1.3, 4.1). Вскоре оказалось, что многие другие математические множества подчиняются линейным операциям, например, мно-
жество решений однородной системы линейных уравнений (п. 3.7,
предложение 3.6). При этом ни сами объекты не похожи на сво- бодные векторы, ни линейные операции над этими объектами не похожи на линейные операции над векторами.
Однако, во всех приведённых примерах есть нечто общее, позволяющее изучать линейные операции абстрактно, отвлека- ясь от конкретной природы изучаемых объектов.
Прежде всего, во всех приведённых примерах линейные опе- рации над элементами данного множества дают в результате эле- менты того же множества: складывая элементы множества или умножая их на число, мы вновь получаем элементы того же мно- жества.
Таким образом линейные операции, различные для разных мно- жеств, имеют ряд общих свойств, что позволяет изучать линей- ные операции вообще.
Изучая множества, с данными в них линейными операция- ми, их объединяют общим понятием линейного (векторного) про-
странства. Название линейного пространства “векторным” есть дань исторической традиции, так как эти понятия были первона- чально установлены для векторов на плоскости (в пространстве), которые и представляют собой первый пример линейного про-
странства с внутренним законом сложения векторов и внешним законом умножения вектора на число. В силу этого элементы ли-
нейных пространств принято называть векторами, а сами линей- ные пространства - векторными.
4
Определение линейного пространства обобщает определение совокупности всех векторов. Это обобщение производится, во-пер- вых, путём отвлечения от конкретной природы элементов множества с сохранением свойств действий над ними, во-вторых, путём отвле- чения от конкретной природы допустимых множителей.
9.1.Определение, аксиомы и примеры линейного пространства
Пусть имеется множество L , состоящее из каких угодно эле-
ментов
a, b, c,..., x, y, z,... ,
которые мы будем далее условно называть векторами и поэтому стрелочку над элементом рисовать не будем.
Вместе с векторами множества L мы будем рассматривать
числа
α,β, γ,..., ω,... ,
образующие поле K , сводящееся к полю R для вещественных чисел и к полю C для комплексных чисел.
Будем считать, что в L |
определены действия сложения (внут- |
ренний закон) и умножения на число (внешний закон), если: |
|
1) для любых векторов |
a, b L |
2) для любых векторов |
a + b L ; |
a L и любого числа α K |
|
|
αa L . |
Определение 9.1. Линейным пространством L над полем K , на- зывается множество L рассматриваемое вместе с заданными в нём операциями сложения и умножения на число, удовлетворя- ющее следующим аксиомам:
1o . Для любых векторов a, b L выполняется свойство коммута-
тивности сложения
a + b = b + a .
2o . Для любых векторов a, b, c L выполняется свойство ассоциа-
|
|
|
5 |
тивности сложения |
|
|
|
|
(a + b)+ c = a + (b + c). |
|
|
3o . Для любого вектора |
a Î L существует такой вектор |
qÎ L , что |
|
|
|
a + q = a . |
|
Элемент |
qÎ L будем называть нулевым элементом (вектором). |
||
4o . Для любого вектора |
x Î L найдётся такой вектор |
y L , что |
|
|
|
x + y = θ . |
|
Вектор y |
будем называть противоположным вектору x |
и обозна- |
|
чать как |
−x . Очевидно, |
что вектор x противоположен вектору y . |
|
5o . Для любого вектора |
a Î L и 1 K |
|
|
|
|
1× a = a . |
|
6o . Для любого вектора a Î L и любых чисел α,β K выполняет-
ся свойство ассоциативности умножения на число a(ba)= (ab)a .
7o . Для любого вектора a Î L и любых чисел a,b Î K выполняет-
ся свойство
(a + b)× a = aa + ba .
8o . Для любых векторов a, b Î L и любого числа a Î K выполня-
ется свойство
a(a + b)= aa + ab .
Замечание. Если K = R - поле вещественных чисел, тогда L есть вещественное линейное пространство. Если K = C - поле комп- лексных чисел, то L есть комплексное линейное пространство.
Примеры линейных пространств.
1. Множество векторов на плоскости и множество векто- ров в пространстве образуют линейные пространства (предло- жение 4.1).
2. Множество матриц Mm×n фиксированного размера образу-
6
ют линейное пространство (п. 1.3).
3. Нулевой элемент θ сам по себе образует линейное про- странство, так как, очевидно, выполнены все восемь аксиом ли- нейного пространства.
4. Координатное пространство Rn . Пусть элементами L
являются упорядоченные наборы действительных чисел, по n чисел в каждом наборе.
Упорядоченность говорит о том, что числа в наборах зану- мерованы, т.е.
x = (x1,x 2 ,..., x n ), y = (y1, y2 ,..., yn ).
Определим операцию сложения элементов как
x + y = (x1,x 2 ,...,x n )+ (y1, y2,..., yn )= (x1 + y1,x 2 + y2 ,...,x n + yn )= = (z1,z2,...,zn )= z ,
где zi = x i + yi , i = 1,2,...,n .
Операцию умножения элемента x L на число α R опре-
делим как
αx = (αx1,αx 2 ,...,αx n )= (y1, y2 ,..., yn )= y ,
где yi = αx i .
Под нулевым элементом θ будем понимать набор из n нулей θ = (0,0,...,0).
Элемент
− x = (− x1,−x 2,...,−x n )
будет противоположен элементу x = (x1,x 2 ,..., x n ) .
Ясно, что будут выполнены все восемь аксиом линейного пространства и множество упорядоченных наборов L будет дей- ствительным линейным пространством - координатным про-
странством Rn .
5. Пространство непрерывных на отрезке [a,b] функций.
Пусть L - множество всех функций непрерывных на отрезке [a,b] и τ [a,b].
Пусть далее x = f (τ) и y = g(τ) есть элементы L .
7
Два элемента x и y равны если f (τ)= g(τ) на всём отрезке [a,b].
Определим операцию сложения как
x + y = f (τ)+ g(τ)= h(τ)= z ,
операцию умножения на число как
αx = αf (τ)= g(τ)= y .
Под нулевым элементом θ будем понимать функцию θ = Θ(τ)= 0
на всём отрезке [a,b].
Элемент − x = − f (τ) будем считать противоположным эле- менту x = f (τ).
Легко проверить, что будут выполнены все восемь аксиом ли- нейного пространства и множество L мы можем рассматривать как
линейное пространство функций непрерывных на отрезке [a,b].
6. Пространство многочленов степени меньше n . Пусть
p(t)= a0 + a1t + a2t 2 + ... + an−1t n−1 и q(t)= b0 + b1t + b2t 2 + ... + bn−1t n−1
многочлены степени меньше n с коэффициентами из K .
Определим операцию сложения как
p(t)+ q(t)= (a0 + a1t + a2t 2 +... + an−1t n−1 )+ (b0 + b1t + b2t 2 +... + bn−1t n−1 )= = (a0 + b0 )+ (a1 + b1 )t + (a2 + b2 )t 2 +... + (an−1 + bn−1 )t n−1 =
|
|
= c |
0 |
+ c t + c |
t 2 |
+ ... + c |
|
t n−1 |
= g(t), |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а операцию умножения на число α K как |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
αp(t)= α(a |
+ a t + a |
t 2 +... + a |
|
|
t n−1 ) |
= αa |
0 |
+ αa t + αa |
t 2 +... + αa |
n |
t n−1 = |
|||||||||||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
−1 |
|||||
|
|
= b |
+ b t + b t 2 |
+ ... + b |
|
t n−1 |
= q(t). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Под нулевым элементом |
θ |
будем понимать многочлен |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
θ = Θ(t)= 0 + 0t + 0t 2 + ... + 0t n−1 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а многочлен − p(t)= −a |
0 |
− a t − a |
t 2 |
−... − a |
t n−1 |
будем считать про- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
тивоположным многочлену |
|
p(t) = a |
0 |
+ a t + a |
t 2 |
+ ... + a |
t n−1 . |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
n−1 |
|
|
||
Ясно, |
что при введённых выше операциях множество много- |
8
членов степени меньше n образует линейное пространство.
7. Множество решений однородной (приведённой) системы линейных уравнений образует линейное пространство (предложе-
ние 3.6).
9.2.Элементарные следствия из аксиом линейного пространства
Независимо от частных особенностей конкретных линейных пространств, имеют место следующие следствия:
Следствие 9.1. В каждом линейном пространстве имеется только один нулевой элемент θ .
Пусть у нас имеется два нулевых элемента q1 |
и q2 , тогда на |
|
основании аксиом 1o |
и 3o имеем |
|
|
q2 = q2 + q1 = q1 + q2 = q1 . |
|
Следствие 9.2. Для |
любого элемента x L найдётся только один |
|
противоположный ему элемент y = −x . |
|
|
Пусть у элемента x имеется два противоположных ему эле- |
||
мента y1 и y2 , т.е. |
|
|
|
x + y1 = q и x + y2 = q . |
|
На основании аксиом 1o ¸ 4o имеем |
|
|
y2 = y2 + q = y2 + (x + y1 )= (y2 + x )+ y1 = (x + y2 )+ y1 = q + y1 = y1 . |
||
Следствие 9.3. Произведение любого элемента |
x L на число |
|
α = 0 равно нулевому элементу θ . |
|
Пусть x + y = θ (аксиома 4o ), тогда с помощью аксиом 2o ¸ 5o и аксиомы 7o получим
0 × x = 0 × x + q = 0 × x + (x + y)= (0 +1)x + y = x + y = q .
Следствие 9.4. Произведение любого элемента x L на число (-1) равно элементу, противоположному к x .
На основании аксиом 3o , 5o и 7o имеем
9
x + (-1)x = (1-1)x = 0 × x = q
или
(-1)x = -x .
Следствие 9.5. Произведение нулевого элемента θ на любое чис-
ло α K есть нулевой элемент |
θ . |
На основании аксиомы 3o |
и следствия 9.3 имеем |
a ×q = a × (0 × x )= (a ×0)× x = 0 × x = q .
Следствие 9.6. Для любых двух элементов a, b L существует раз- ность, притом, только одна.
x = b + (-1)× a
На основании аксиом 2o , 3o , 5o , 7o и следствия 9.3 имеем x + a = b + (-1)× a + a = b + (-1+1)× a = b + 0 × a = b ,
т.е. x = b − a .
Или полагая
x + a = b
на основании аксиом 2o , 3o , 5o , 7o и следствия 9.3 имеем
x= x + q = x + (1-1)× a = x + a + (-1)× a = b + (-1)× a .
9.3.Линейная зависимость
Вопросы линейной зависимости свободных векторов, матриц, решений однородной системы линейных уравнений мы уже рассмат- ривали в первом семестре и мы можем ожидать, что элементы про- извольного линейного пространства будут вести себя по отноше- нию к линейной зависимости или независимости так же.
Пусть нам дано некоторое число векторов (будем иметь в виду условность выражения “вектор”) линейного пространства L
a, b, c,..., q Î L
и произвольный набор чисел
α,β, γ,..., ω K .
|
10 |
Определение 9.2. Всякий вектор x L , представленный в виде |
|
x = αa + βb + γc +... + ωq |
(9.1) |
называется линейной комбинацией элементов |
a, b, c,..., q . |
Определение 9.3. Система векторов a, b, c,..., q |
называется линейно |
зависимой, если существует линейная комбинация (9.1) равная нулевому вектору θ , где среди чисел α,β, γ,..., ω хотя бы одно от-
лично от нуля.
Определение 9.4. Система векторов a, b, c,..., q называется линей-
но независимой если равенство
αa + βb + γc +... + ωq = θ |
(9.2) |
возможно только в одном случае, когда |
|
α = β = γ = ... = ω = 0 . |
|
Сформулируем несколько предложений о линейной зависи- мости и линейной независимости элементов линейного простран- ства, обобщающие и дополняющие рассмотренные в первом се- местре свойства линейной зависимости и линейной независимос- ти матриц, свободных векторов и множества решений однород- ной системы линейных уравнений.
Предложение 9.1. Система из k >1 векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линей- ная комбинация остальных.
Предложение 9.2. Если в систему векторов входит нулевой вектор θ , то система линейно зависима.
Предложение 9.3. Если часть из векторов a1, a2 ,..., ak составляет сама по себе линейно зависимую систему, то и вся система векто- ров a1, a2,..., ak ,..., an линейно зависима.
Предложение 9.4. Любые векторы входящие в линейно независимую систему векторов, сами по себе линейно независимы. Предложение 9.5. Если вектор раскладывается по линейно независи- мой системе векторов, то его коэффициенты разложения в данной линейно независимой системе векторов определены однозначно.
9.4. Базис
11
Определение 9.5. Базисом в линейном пространстве L будем на- зывать упорядоченную конечную систему векторов, если:
а) она линейно независима;
б) каждый вектор из L раскладывается в линейную комби- нацию векторов этой системы.
Упорядоченность векторов говорит о том, что они зануме- рованы, и переставляя их местами (перенормируя), мы будем по- лучать различные базисы.
Коэффициенты линейных комбинаций будем называть компонентами или координатами вектора в данном базисе.
Если векторы базиса e1, e2,..., en записать в виде строки
e = (e1, e2 ,..., en ),
(понимая эту запись в смысле формулы (1.3), т.е. понимая под ei матрицу столбец из координат вектора ei в собственном базисе),
а компоненты x1, x2 ,..., xn вектора x в базисе e1, e2,..., en в виде
столбца
æç x1 ö÷ x = çx2 ÷ çç ... ÷÷ ,
çèxn ÷ø
который назовём координатным столбцом вектора x , то разло-
жение вектора x L по базису e1, e2,..., en |
можно записать, исполь- |
зуя правило суммирования Эйнштейна, как |
|
x = xi ei |
(9.3) |
или |
|
12
|
æ x1 |
ö |
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
x = (e1, e2 |
çx2 |
÷ |
= ex |
|
|
|
,..., en )×ç |
|
÷ |
. |
(9.4) |
||
|
ç ... |
÷ |
|
|||
|
ç |
n |
÷ |
|
|
|
|
èx |
|
ø |
|
|
|
Предложение 9.6. Координатный столбец суммы векторов равен сумме их координатных столбцов. Произведение вектора на число
равно произведению координатного столбца данного вектора на это число.
x + y = ex + eh = e(x + h), ax = aex = e(ax).
Таким образом координатный столбец линейной комбина- ции векторов, есть линейная комбинация их координатных стол- бцов с теми же коэффициентами.
Итак, задать в линейном пространстве L базис e1, e2,..., en ,
это значит установить взаимно однозначное соответствие меж- ду векторами линейного пространства и упорядоченными набора-
ми чисел ( x1, x2 ,..., xn ), которые мы можем рассматривать как эле-
менты координатного пространства Rn (пример 4) или как мат-
рицы строки (матрицы столбцы) длины n (высоты n ). Задание
базиса позволяет нам заданные абстрактно линейные операции над векторами свести к хорошо изученным нами в первом семес- тре линейным операциям над матрицами, которые тоже есть не что иное как элементы векторного пространства.
Предложение 9.7. Элементы векторного пространства линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их коор- динатные столбцы.
Предложение 9.8. Если в векторном пространстве L существует базис из n векторов, то любая система из n +1 вектора линейно зависима.
Предположим, что в векторном пространстве L задан ба- зис e1, e2,..., en . Рассмотрим систему векторов f1, f2 ,..., fm , m > n .