Содержание
1. Задача №1. Нахождение корней уравнения. Исходные данные………………………2
1.1. Описание использованного метода (Метод Ньютона)……………………………………....2
1.2. Текст задачи…………………………………………………………………………………….3
1.3. Проверка (Mathcad). Вывод…………………………………………………………………....4
2. Задача №2. Вычисление определенного интеграла. Исходные данные………………5
2.1. Описание использованного метода (Метод трапеций)………………………..…………....5
2.2. Текст задачи………………………………………………………………………………...…..6
2.3. Проверка (Excel). Вывод…………………………………………………………………...…..7
3. Задача №3. Интерполирование функции. Исходные данные………………………….8
3.1. Описание использованного метода (Метод квадратичной интерполяции)………………...8
3.2. Текст задачи………………………………………………………………………………....…9
3.3. Проверка (Mathcad). Вывод…………………………………………………………….….…10
4. Задача №4. Аппроксимация функции. Исходные данные……………………………12
4.1. Описание использованного метода (Метод Гаусса-Жордана)…………………...………...12
4.2. Текст задачи……………………………………………………………………………..….....12
4.3. Проверка (Mathcad). Вывод…………………………………………………………….….…14
5. Библиография…………………………………………………………………………....15
Задача №1. Нахождение корней уравнения. Исходные данные
Нахождение корней нелинейного уравнения (f1)
Найти интервалы локализации корней и в каждом из интервалов найти корень
многочлена с заданной точностью по методу Ньютона
P(x) = x5 + 4x4 - 57x3 - 112x2 + 664x – 478.5
Описание использованного метода (Метод Ньютона)
Метод Ньютона – метод касательных. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Итерация - организация обработки данных, при которой действия повторяются многократно, не приводя при этом к вызовам самих себя. В методе касательных на каждом шаге проводится касательная к кривой y=F(x) при x=xn и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс:
Формула для (n+1) приближения имеет вид:
xn+1=xn - F(xn)/F’(xn)
Если F(a)*F"(a)>0, x0=a, в противном случае x0=b.
Обработка данных продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что:
|F(xn+1 ≤ Ɛ)
Текст задачи
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication27
{
class Program
{
static double F(double x)
{
double F = Math.Pow(x, 5) + 4 * Math.Pow(x, 4) - 57 * Math.Pow(x, 3) - 112 * Math.Pow(x, 2) + 664 * x - 478.5;
return F;
}
static double F1(double x)
{
double F = 5 * Math.Pow(x, 4) + 4 * 4 * Math.Pow(x, 3) - 57 * 3 * Math.Pow(x, 2) - 112 * 2 * x + 664;
return F;
}
static double F2(double x)
{
double F = 5 * 5 * Math.Pow(x, 3) + 3 * 4 * 4 * Math.Pow(x, 2) - 57 * 3 * 2 * x + 112 * 2;
return F;
}
static double newton(double x, double eps)
{
bool ex = true;
do
{
double x1 = x - F(x) / F1(x);
if (Math.Abs(x - x1) < eps)
ex = false;
x = x1;
} while (ex);
return x;
}
static void Main(string[] args)
{
double[] x = new double[5];
double a = -50;
double b = 50;
double counter = 0;
double dx = 2.1;
double eps = 0.001;
do
{
double x1 = a;
int i = 0;
counter = 0;
do
{
if (F(x1) * F(x1 + dx) < 0)
{
if (F(x1) * F2(x1) > 0)
{
x[i] = x1;
i++;
counter++;
}
else
{
x[i] = x1 + dx;
i++;
counter++;
}
}
x1 = x1 + dx;
} while (x1 < b);
dx = dx / 2;
} while (counter < 5);
for (int i = 0; i < x.Length; i++)
x[i] = newton(x[i], eps);
for (int i = 0; i < x.Length; i++)
Console.WriteLine("x{0:d}={1:f4}", i, x[i]);
Console.ReadKey();
}
}
}
Проверка (Mathcad). Вывод
Проверка с помощью программы Mathcad показала, что корни уравнения найдены верно.
Задача №2. Вычисление определенного интеграла. Исходные данные
Вычисление определенного интеграла
Вычислить определенный интеграл с заданной точностью по указанному методу трапеций. Проверить правильность результата, вычисляя тот же интеграл с использованием первообразной функции по формуле Ньютона-Лейбница.
Описание использованного метода (Метод трапеций)
Метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию.В общем виде формула парабол на отрезке [x0; xn] выглядит следующим образом:
В данной формуле y0, y1,..., yn - это значения соответствующей функции f(x) в точках x0, x1,..., xn (xi=xi-1+h); x0=a, xn=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит:
h можно вычислить по формуле:
h=(b-a)/n