Лекция1
.docЛекция 1. Уравнения в частных производных первого порядка.
Введение.
Различные физические явления описываются дифференциальными уравнениями в частных производных:
- уравнение теплопроводности,
- уравнение колебаний,
- уравнение Лапласа и т. д.
Различным методам интегрирования уравнений в частных производных второго порядка и посвящён наш курс лекций. Но прежде чем перейти к этим задачам рассмотрим методы интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведём несколько простейших примеров.
Пример 1.
,
интегрируя по
,
где - произвольная функция переменой .
Пример 2.
Сделаем замену , тогда , , а так как , то , а . Исходное уравнение преобразуется к виду;
интегрируя по переменной , получим:
.
§ 1. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
Определение. Квазилинейным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение вида:
Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции .
Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными.
(1)
Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Пусть и два независимых интеграла этой системы.
Теорема 1. Общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
,
где произвольная функция.
Доказательство. Уравнение (1) можно интерпретировать как скалярное произведение векторов и , где первый вектор есть нормаль к поверхности , если же эта поверхность задана неявно , то условие ортогональности нормали и вектора приобретает вид:
(2)
Следовательно, для решения уравнения (1) достаточно проинтегрировать уравнение (2). Пусть некоторое решение (2) покажем, что , но
Так как мы предполагаем, что P, Q и R одновременно не обращаются в ноль, то приходим к выводу, что определитель этой системы
тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но тождественное обращение в ноль якобиана указывает на наличие функциональной зависимости между этими функциями, т.е. , но из независимости и немедленно следует, что .■
Чтобы найти поверхность , удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1) и проходящую через данную линию:
надо в найденные первые интегралы
(3)
подставить вместо их выражения через параметр . Получится два уравнения вида
(4)
Исключив из них , получим соотношение , подставив вместо , левые части из (3) получим искомое решение.
В том случае, когда в оба уравнения (4) не входят , тогда заданная линия является характеристикой системы и задача Коши имеет бесконечно много решений.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
А также интегральную поверхность, проходящую через данную линию , .
Решение. Составляем систему уравнений
и находим её первые интегралы , , следовательно, общее решение можно записать в неявном виде , т.к. входит только в один из первых интегралов, то решение можно записать в явном виде . Чтобы найти поверхность проходящую через линию нужно поставить параметрическое задание линии в первые интегралы, взяв в качестве параметра
Исключив получим подставляя сюда вместо констант соответствующие им первые интегралы или .