Лекция6
.docЛекция 6. Уравнения параболического типа.
Определение. Классическим решением начально-краевой задачи называется функция , непрерывная вместе с первыми производными по координатам в замкнутом цилиндре, имеющая непрерывные производные первого порядка по и второго по координатам в открытом цилиндре, удовлетворяющая уравнению, начальному условию и граничному условию.
Необходимым условием существования классического решения начально-краевой задачи является условие согласования начального и граничного условия.
Принцип максимума.
Решение однородного уравнения теплопроводности
непрерывное в замкнутом цилиндре во внутренних точках этого цилиндра не может принимать значений, больших, чем максимальное из начального и граничного значений.
Доказательство
Нужно доказать, что если
То
От противного
Пусть в некоторой внутренней точке функция достигает своего максимального значения, т. е.
Введём вспомогательную функцию.
если
Т.к. функция непрерывна в замкнутом цилиндре, то она должна в некоторой внутренней () достигать своего максимального значения, тогда
Для точки выполняются условия максимума
Тогда в той же точке для .
но т.к то приходим к выводу, что уравнение не выполняяется.
Следствие для уравнения имеет место принцип минимума.
Принцип сравнения 1. Если два решения ур-я теплопроводности, непрерывны в замкнутом цилиндре удовлетворяют условиям
то
Принцип сравнения 2.
Если два решения уравнения теплопроводности, непрерывные в замкнутом цилиндре, удовлетворяют условиям
то
Формальное построение решения теплопроводности
Рассмотрим в области задачу Ш-Л.
Неоднородное уравнение теплопроводности