ММС

§ 9. Внутрифазные и межфазные взаимодействия в плотно упакованных зернистых, порошкообразных и пористых средах

Если твердая фаза представляет плотную упаковку дисперсных частиц, то в ней может происходить перенос импульса за счет непосредственного взаимодействия между частицами, которое описывается приведенным тензором напряжений . Если пренебречь пульсационным переносом импульса в фазах , что обычно можно делать в случае пористых сред, то в соответствии с (1.3.25) тензор напряжений в смеси и приведенные тензоры напряжений в фазах представляются в виде

=<+<=+ ,

= < + , =<+.

Тензор напряжений в дисперсной фазе. Как и ранее в § 4 для газовзвесей, можно считать, что действие вязкости дисперсионной (газовой или жидкой) фазы через межфазную силу Fμ во много раз превышает действие вязкости через тензоры напряжений < и в виде слагаемого . Поэтому примем

<= — , = —= — . (1.9.2)

Выражение = соответствует случаю, когда межзеренные контакты точечные, т. е. почти вся поверхность зерен контактирует с газовой или жидкой фазой. Таким образом, имеем

= — +, < = — +. (1.9.3)

Из этих выражений следует, что приведенное напряжение в дисперсной фазе определяется через непосредственно измеряемые величины — полное напряжение в смеси и давление газа или жидкости в порах . Напряжение интерпретируется как часть тензора напряжений <в твердой фазе или скелете, обусловленная передачей усилий через контакты между зернами. Если исключены контакты между зернами, что имеет место в малоконцентрированных (бесстолкновительных или бесконтактных) дисперсных смесях, рассмотренных выше в § 1—4, то = 0. При наличии контактов между дисперсными частицами ( 0) дисперсную смесь будем называть плотной, контактной или столкновительной. (См. также В. Н. Николаевский и др., 1970.)

Межфазная сила. Учитывая, что вся поверхность дисперсных частиц (за исключением конечного числа точек межзеренных контактов) контактирует с газом, межфазную силу можно представить так же, как и в бесконтактной дисперсной смеси в виде (1.3.41), выделяя силу Архимеда и силу присоединенных масс из-за действия инерции и тяжести в несущей фазе

=∇+++ ,

=, = , (1.9.4)

=(— ),

где сила, приходящаяся на одну частицу (зерно) из-за вязкости дисперсионной фазы, определяемая коэффициентом вязкого взаимодействия , который задается аналогично (1.4.9);

—коэффициент, учитывающий влияние неодиночности и несферичности дисперсных частиц на силу присоединенных масс

(0)- Тогда аналогично (1.3.45) уравнения импульсов фаз в контактной дисперсной смеси можно записать в виде

(+g,

++++(+g,

(1.9.5)

=, =, —== nj.

Из этих уравнений нетрудно получить соответствующее выражение для удельной межфазной силы в дисперсной смеси

=++ (, (1.9.6)

=, =().

Рассмотрим другую двухфазную структуру, состоящую из пористой среды*), насыщенной жидкостью или газовой фазой, которая занимает поры в виде каналов. Такая структура может рассматриваться как предельный случай дисперсной структуры с наиболее полными контактами между частицами твердой фазы, когда площадь межзеренных контактов сравнима с поверхностью зерен. Эту предельную структуру с порами в виде каналов будем называть «канальной структурой». Для такой структуры тензоры , сила f и числовая концентрация частиц n не имеют смысла, и выражения (1.9.1) и (1.9.4) не могут быть использованы для определения напряжений в фазах и силы межфазного воздействия. Напряжение в жидкой или газовой фазе зададим давлением по тем же соображениям, что и в (1.9.2) и аналогично (1.9.3) введем приведенный тензор напряжений в твердой фазе .

= — , = — , (1.9.7)

₌+= — .

Видно, что напряжения / характеризуют отличие средних напряжений в твердой фазе от давления в порах .

Если каналы в пористой среде гладкие, прямолинейные и ориентированы вдоль относительного ускорения фаз, то в межфазной силе нет составляющей за счет мелкомасштабных пульсаций давления, возникающих в общем случае из-за сил инерции в мелкомасштабном движении, т. е.

= 0 (см.( 1.2.46)).

Тогда= + = = (, (1.9.8)

где — характерный радиус пор. В общем случае и межфазная сила определяется как вязким, так и инерционным взаимодействием:

=++,

=+(

(0) , (1.9.9)

= (.

Это выражение обобщает (1.9.6) и (1.9.8). Здесь и коэффициенты инерционного и вязкого взаимодействия фаз, зависящие от структуры среды, причем разреженной дисперсной смеси с частицами радиусом соответствует = 1 и =, а пористой среде c прямолинейными цилиндрическим каналами радиусом , ориентированными вдоль направления относительного движения и ускорения фаз, соответствует = О

и = 8.

В результате обобщения (1.9.5) на пористые и зернистые среды имеет вид

= ——— + () + g, (1.9.10)

= ——++ +g ,

где и определяются выражениями(1.9.9).

Сила трения в зернистах средах определяется так же, как и для газовзвесей (см. (1.3.42), (1.4.9)) с помощью коэффициента трения . Для этого коэффициента имеем следующие эмпирические формулы:

= , 0.880.45,

= = + + 0.42 , 0.08, (1.9.11)

= = .

Здесь получено из обработки экспериментов по стационарной продувке газов сквозь насыпной слой (разной пористости) неподвижных сферических частиц (S. Ergun, 1952); соответствует одиночной частице или газовзвеси, когда объемная концентрация частиц мала. В промежуточной области здесь предлагается использовать линейную интерполяцию с и .

Работа поверхностных сил. Уравнения притока тепла. Работа внешних поверхностных сил определяется вектором c, который, обобщая (1.1.58) и (1.3.37), зададим в виде

= + = —( + ) + . (1.9.12)

Аналогично(1.1.43) нетрудно показать, что в соответствии с уравнениями импульсов фаз (1.9.10) на изменение кинетической энергии идет работа,

— ( + ) + , (1.9.13)

а остальная часть , равная

— ( + ) + , (1.9.14)

идет на изменение внутренних энергий фаз в соответствии с уравнениями притока тепла фаз

= + ()() +( —) + ,

= + — ( —) + , (1.9.15)

+ = — ( —) .

При сопоставлении этих уравнений с (1.9.14) следует иметь в виду, что в соответствии с уравнениями сохранения масс фаз имеет место

+ —= — ( + ). (1.9.16)

Деформация (как сдвиговая, так и объемная) пористого тела сопровождается эффектами вязкости, упругости и пластичности, описание которых связано с разделением уравнения для внутренней энергии твердой фазы (второе уравнение (1.9.15)) на два уравнения: уравнение для упругой энергии и уравнение для тепловой энергии. Это связано с тем, что внутренняя энергия конденсированной фазы складывается из упругой и тепловой и составляющих (см. также § 1 гл. 3)

= + ,

= (, , ), (1.9.17)

(— + ,

где , — второй и третий инварианты тензора деформаций второй фазы*), определяемого эволюцией поля скоростей (t, x).

При не очень высоких давлениях деформация твердой фазы, описываемая полем скоростей , происходит в основном за счет переупаковки зерен и изменения объемов пор, ибо сжимаемость и сдвиговые деформации материала твердой фазы очень малы, в частности можно считать const. В этом случае упругая внутренняя энергия не меняется, вся деформация твердой фазы является необратимой и вся работа соответствующих внутренних межгранулярных сил = диссипируется в тепловую. Такой ситуации соответствует используемая в механике грунтов модель пластического газа (X. А. Рахматулин и др., 1961), которая для одномерного случая движения рассмотрена в § 4 гл. 3.

Как и межфазное трение межфазный стационарный теплообмен в насыпных слоях, определяемый величиной = , описывается с помощью числа , как и в газовзвесях (см. (1.3.56), (1.4.11)), для которого имеются следующие эмпирические формулы (А. Ф. Чудновский, 1954) :

=

§ 10. Уравнения механики двухфазной упругопластической

сплошной среды в односкоростном, однотемпературном

и с общим давлением фаз приближении

Рассмотрим движение двухфазной среды, когда можно пренебречь относительным движением фаз и несовпадением их температур, т. е. можно использовать так называемое односкоростное и однотемпературное приближение. Как уже указывалось, эффекты движения фаз с разными скоростями часто являются несущественными при интенсивных течениях пузырьковых газойли парожидкостных смесей. Кроме того, в смесях конденсированных фаз (композиционные материалы, двухфазные смеси, которые возникают из-за полиморфных превращений в твердых телах, инициируемых сильными ударными волнами (см. гл. 3)) часто силы межфазного взаимодействия и сцепления, а также интенсивности межфазного теплообмена на границах зерен, включений, волокон настолько велики, что средним смещением фаз друг относительно друга и несовпадением их средних температур можно пренебречь Далее, в отличие от предыдущих параграфов, дан вывод основных уравнений в лагранжевых переменных. Их использование позволяет проще реализовать численное решение одномерных задач о движении односкоростной среды с контактными границами.

Уравнения сохранения двухфазной среды в односкоростном приближении в лагранжевых переменных. Выведем дифференциальные уравнения сохранения масс фаз, импульса и энергии двухфазной смеси в лагранжевых декартовых координатах (к = 1, 2, 3), так что r (, , ) определяет положение частицы среды в начальный момент времени. Текущее положение частицы среды определяется ее эйлеровыми координатами или концом вектора x(, , ), для которых имеется уравнение перемещения

== (r, t). (1.10.1)

Заметим, что здесь частная производная по времени /t берется при фиксированных лагранжевых координатах, т. е. вдоль траектории материальной частицы, и поэтому здесь /t — субстанциональная производная

. (1.10.2)

Пусть I (r, t ) —степень расширения среды, или якобиан преобразования от лагранжевых к эйлеровым координатам

I= (1.10.3)

определяющий отношение текущего элементарного объема dV выделенной

вокруг точки частицы к ее объему в начальный момент времени:

I= dV / ( 1.10.4)

Пусть (r) = р(0, r)— плотность среды в начальный момент времени t = 0. Тогда закон сохранения массы смеси имеет вид ρ dV = dVo, или

ρI = , (1.10.5)

а уравнения сохранения масс фаз с учетом фазовых переходов, характеризуемых их интенсивностью , отнесенной, в отличие от , к единице объема среды в начальный момент времени, записываются в виде

(dv) = —, (dv) = (),

где — интенсивность фазовых переходов, отнесенная к единице текущего объема среды. Разделив обе части этих уравнений на , получим

(I) = — , (I) = (1.10.6)

Запишем уравнение сохранения импульса для массы среды, находящейся в начальный момент времени в объеме , ограниченном поверхностью δ:

() = =d+ g,

где = — тензор напряжений Лагранжа, который, в отличие от до сих пор используемого тензора напряжений Эйлера , определяет интенсивность поверхностных сил, отнесенных не к текущему, а к начальному размеру и положению сечения d с единичной нормалью ; g — интенсивность внешних массовых сил, отнесенных к единице массы среды. Используя теорему Гаусса — Остроградского, получим

= + g . (1.10.7)

Внутреннюю энергию смеси будем считать аддитивной по внутренним энергиям фаз, тем самым пренебрегая особыми свойствами слоев вещества, прилегающих к границам зерен или межфазных границ