Экстремум функции.Необходимые и достаточные условия существования экстремума
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) f(xо) (f(x) ³ f(xо)). Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Необходимые условия экстремума.
Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ¢ (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f (xо) = 0, >0 (<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].
Выпуклая функция
В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), если для любых двух точек x, y из этого интервала и для любого числа t, принадлежащего отрезку [0,1], выполняется неравенство
Если это неравенство является строгим для всех t из интервала (0,1), функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх
Достаточное условие выпуклости
Точки перегиба.Необходимое и достаточное условие точки перегиба
Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.
Необходимое условие
Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x0, f(x0)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x0) = 0. Достаточное условие
Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x0 интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х0, а график функции имеет касательную в точке С = (х0, f (x0)). Если при переходе через точку х0 вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x).
Асимптоты графика функции
Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , .
Первообразная
Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных;
Неопределенный интеграл и его свойства
Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
Свойства неопределённого интеграла,:
-
.
-
(или ).
Таблица основных интегралов
Простейшие приемы интегрирования:непосредственное интегрирование,замена переменной(подведение под знак дифференциала и подстановка),интегрирование по частям.
Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
замена переменной(подведение под знак дифференциала и подстановка)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
интегрирование по частям
Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла:
для определённого:
Разложение рациональной функции на простейшие дроби
Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где — заданные числа
трехчленне имеет действительных корней.
Тогдапредставляется в виде суммы простейших дробей
1—3 типов:
где— неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к
Интегрирование рациональной функции
Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:
-
Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
-
Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
-
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
-
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций
Интегрирование ирррациональных функций
Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию..
Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида вычисляются с помощью замены . Интегралы вида вычисляются с помощью замены . Интегралы вида , если , то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены .
Интегралы вида вычисляются с помощью формул понижения степени .