§12. Обратная пропорциональность

Если в формуле xz = y у - постоянная величина и равна k , то xz= k .

Нам привычны переменные x, y, поэтому введём их х  у = k  у = – обратная пропорциональность. Величиных и у называются обратно пропорциональными величинами.

Определение. Обратной пропорциональностью называется числовая функция, которая может быть задана при помощи формулы у = , где k – любое, отличное от 0 действительное число.

Прямая пропорциональность имеет следующие свойства:

1. D(y) = (– ∞; 0)  (0; + ∞;) = R \ {0} ( x в знаменателе не равен нулю)

2. E(y) = (– ∞; 0)  (0; + ∞;) R \ {0} ( т.к. k  0)

3. Так как f(x) = = –f(x), то функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

4. если k >0, то функция убывающая;

если k < 0, то функция возрастающая.

5. График функции – гипербола.

k > 0 k < 0

Формулировка 1. Если х и у обратно пропорциональные величины, то произведение х у для всех пар соответственных значение (х, у) принимает одно и тоже значение к.

Формулировка 2. Если функция – обратная пропорциональность, то отношение двух значений аргумента х равно обратному отношению соответственных значений функции у, т.е.

.

Если значениями переменных х и у являются положительные числа, то это свойство можно сформулировать так:

С увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз (при постоянной третьей величине).

§13. Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называют функцию, заданную формулой у = ах² + bх + с, где а, b, с – действительные числа и а  0.

Областью определения D квадратичной функции является множество R, так как выражение ах² + bх + с имеет значение при любых значениях х.

Рассмотрим вначале случай, когда (а, b, с) = (1, 0, 0), т.е. функцию у = х².

Функция у = х² имеет следующие свойства:

1. D(y) = R = (– ∞;  ∞).

2. E(y) = [0; +) = R₊.

3. Так как f(x) = (–x)² = x² = f(x), то функция является чётной функцией, график симметричен относительно оси Оу.

4. Выясним, при каких значениях функция возрастает, а при каких – убывает.

Возьмём x₁  x₂ 0 и рассмотрим разность f(x₁) – f(x₂).

f(x₁)  f(x₂) = . Так как x₁  x₂, то  0 и f(x₁) > f(x₂) и функция возрастающая.

Возьмём x₁ < x₂ 0 и рассмотрим разность f(x₁) – f(x₂).

f(x₁)  f(x₂) = . Так как x₁ < x₂, то  0 и f(x₁) > f(x₂) и функция возрастающая.

5. В точке х = 0 функция принимет наименьшее значение.

Её графиком является кривая, которая называется параболой.

Рассмотрим функцию у = ах².

При а > 0 она имеет те же свойства,что и функция у = х².

Ее график получается из графика функции у = х² сжатием

к оси Оу, если а > 1 и растяжением от оси Оу, если

0 < а < 1. Графиком является порабола. Коэффициент а

характеризует крутость пораболы. График функции

у = ах² при а < 0 получается из графика функции у = ах² симметричным отображением в отношении оси Ох.

Исследуем свойства функции у = ах² + bх + с. Для этого выделим в квадратном трехчлене полный квадрат.

у = ах² + bх + с = а(х² + х) + с = а – + +с = а + .

График функции у = а можно получить из графика функции у = ах². Для этого абсциссу каждой точки графика у = ах² нужно уменьшить на , если> 0 и увеличить на , если < 0. Это значит, график функции у = ах² нужно параллельно сдвинуть в направлении оси Ох на расстояние –.