Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

нение: y −(−1) =

(x −2) , раскроем скобки и перенесем все слагаемые вле-

= 0 или x + 3y + 3 +2 = 0 , это и есть искомое общее

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

747.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

А проводят вектор AB , равный второму слагаемому, из точки В – вектор BC , равный третьему слагаемому и т.д. Наконец, строят последний вектор с концом в точке D, вектор OD , замыкающий полученную ломаную линию, и будет искомой суммой (рис. 1.16).

Пример 1.12. В пространстве заданы векторы a (1, 2, –2) и b (–3, 5, 1), найдите следующие векторы: а) a +b ; б) a −b ; в) 2a +1 3b.

Решение. При сложении (вычитании) векторов соответствующие их координаты складываются (вычитаются). Таким образом, координаты векторов равны: а) a +b (–2, 7, –1); б) a −b (4, –3, –3); в) 2a +1 3b (1, 17/3, –11/3).

Пример 1.13. Разложите в плоскости вектор a (1; 2) по базису. Решение. В качестве базисных векторов на плоскости рас- сматривают i и j – векторы, по модулю равные единице и на- правленные по координатным осям Ox и Oy. Тогда видим, что

a =i +2 j (рис. 1. 17). Действительно, ведь координаты вектора

–это и есть коэффициенты в разложении вектора по базису.

Втрехмерном случае рассматриваются базисные векторы

. Можно говорить о том,

что записи

(x, y, z)

= xi

+ y

+ zk

рав-

нозначны, в дальнейшем будем пользоваться обеими этими записями.

Пример 1.14. Найдите

α и β,

если

известно,

что векторы

и b = i +βj +2k

коллинеарны.

= αi

+7 j +3k

Решение. В условии задачи векторы записаны в разложении по базису

пространства, в другой записи имеем:

(α, 7, 3),

(1, β, 2). Векторы колли-

неарны, если их координаты пропорциональны, т. е. α

= 7

= 3

. Следователь-

но, α = 3/2, β = 14/3.

Ответ: α = 3/2, β = 14/3.

1.5. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов

называется число, равное

произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначаться скалярное произведение может: a b , a b , или ( a ,b ).

Пример 1.15. Вычислите скалярное произведение векторов ar = −i +7 j +3k и b = i +8 j −2k .

Решение. Известно, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. Следовательно, a b = (−1) 1+7 8 +3 (−2) = 49.

Ответ: a b = 49 .

Пример 1.16. Найдите косинус угла между векторами a и b , если:

а) a (5, 4, –2), b (–2, 1, 2); б) a (3, –3, –6), b (–1, 1, 2); в) a (1, 2, –1), b (3, 4, 11).

Решение. По определению скалярного произведения имеем равенство

cos (

,ˆ

) , значит cos (

,ˆ

) =

, т. е. (

,ˆ

) = arccos

5 (−2) +4 1+(−2) 2

а) Подставим данные: cos (

,ˆ

) =

52 + 42 +(−2)2 (−2)2 +12 +22

−10

= − 10

= − 2 5 .

б)

cos (a,ˆb) =

−3 −3 −12

−18

= −

= − 18

= −18

= −1.

9 +9 +36 1+1+4

54 6

324

В этом случае косинус угла равен –1, значит, угол между векторами составляет 180° и они противоположно направленные. Действительно, b = –3 a , т. е. векторы коллинеарные, а раз множитель отрицателен, то они противоположно направленные.

в) cos (a,ˆb) =	3 +8 −11	=	0	= 0 . В этом случае косинус
	1+4 +1 9 +16 +121		6 146

угла равен 0, т. е. угол между векторами составляет 90°, и они ортогональны.

Пример

1.17.

Зная

векторы,

образующие

треугольник ABC:

= 2ir

−6 rj ,

=ir

+7 rj ,

=3i − j , найти углы этого треугольника.

Решение. Для того чтобы найти углы заданного треугольника надо найти

косинусы углов между векторами, образующими треугольник.

Это можно сделать, используя определение скалярного произ-

ведения. Но косинус угла определен для векторов, имеющих

общее начало.

Угол А треугольника ABC равен углу между векторами

AB и AC . Можем найти его косинус:

cos ( AB,ˆAC) =

cos A =

6 +6

4 +36 9 +1

10 =10 = 0,6 . Значит,

A = arccos 0,6 .

Чтобы найти косинус угла В треугольника ABC надо искать косинус угла между векторами BA и BC (рис. 1.18). Зная что BA = −AB , BA (–2, 6), имеем

−2 +42

cos B = cos (BA,ˆBC) =

4 +36

1+49

50 =

5 . Значит,

B = arccos

5 .

Косинус угла С треугольника ABC есть косинус угла между векторами

(рис. 1.18), где

= −

(–3, 1),

= −

(–1, –7).

3 −7

−4

Итак, cos C = cos (CA,ˆCB) =

9 +1

1+49 =

10 50 = − 5

5 .

Следовательно, C = arccos (−5

5 ) .

Ответ: A = arccos 0,6 , B = arccos

5 , C = arccos (− 5 ) .

ar = i +2 j +k

Пример 1.18.

При каком

значении α

векторы

br = 2ir +αrj +2kr ортогональны?

Решение. Два вектора ортогональны друг другу, если угол между ними составляет 90°. Следовательно, косинус угла между ними должен быть равен нулю и, если сами векторы не нулевые, то скалярное произведение равно нулю. Запишем на математическом языке условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов: a b a b = 0 . Подставим данные: a b

a b =1 2 +2 α+1 2 = 0 . Из уравнения 2+2α+2=0 имеем: α = −2 .

Ответ: α = −2 .

Пример 1.19. В плоскости XOZ найти вектор a , перпендикулярный век- r(6,−3, 2) и имеющий одинаковую с ним длину.

Решение. Пусть вектор a имеет координаты (x, y, z). В плоскости XOZ лежат все такие точки и векторы, у которых вторая координата равна нулю.

Т. е. a (x, y, z) XOZ y = 0.

Из того, что a c следует a c = 0 . Можем теперь составить уравнение x 6 + y (−3) + z 2 = 0 , зная, что y =0 , получим 6x +2z = 0.

По условию длины векторов a и c равны, т. е. a = x2 + y2 + z2 =

= 36 +9 +4 = c .

Составим уравнение x2 + y2 + z2 = 49 , из которого, зная что y =0 ,

получим x2 + z2 = 49 .

Решим полученные уравнения вместе:

6x +2z =0,

z = −3x,

+ z

= 49,

+(−3x)

= 49,

				z = −3x,						21 10																							21 10
	z = −3x,			z = −3x,					z = −										,						z				=							,
	z = −3x,				49				z = −	10									,						z				=					10		,
					49	,				10												или												10
	10x2 = 49,		x = ±		10	,				7 10								,											= −					7	10	.
					10				x =	10								,							x				= −						10	.
										10																									10
		Видим, что условию удовлетворяют два вектора, являющиеся противо-
положно направленными: a								(7	10 , 0, − 21										10 ) и a								2		(−7						10 , 0, 21 10 ) .
						1			10	10																	2							10		10
									10	10																								10		10
		Ответ: a (± 7		10 , 0, m 21 10 ) .
			10				10
		1.6. Векторное произведение векторов
									Векторным произведением векторов																														и
									Векторным произведением векторов																												a		и			b
						называется третий вектор																											(рис. 1.19), если вер-
						называется третий вектор																									c		(рис. 1.19), если вер-
						ны следующие условия:																						,ˆ				) ;


									1.				=										sin(
									1.		c		=			a					b		sin(			a				b
									2.								и								;
									2.		c				a		и					c		b	;
									3.			,				,				образуют правую тройку.

											a								c
														b


									Обозначается векторное произведение:																														×		.
									Обозначается векторное произведение:																													a	×	b	.
									Векторное произведение векторов не ком-

мутативно, т. е. нельзя переставлять сомножители векторного произведения. Пример 1.20. Вычислите векторное произведение векторов

ar = −i +7 j +3k и b = i +8 j −2k .

Решение. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:

i j k

a ×b = xa ya za , где i , j , k – базисные вектора (орты), (xa , ya , za ) – ко- xb yb zb

ординаты вектора a , (xb , yb , zb ) – координаты вектора b .

В задаче

(–1, 7, 3),

(1, 8, –2), значит

−1

. Вычислим

−2

определитель:

−1

= −14

−8

−(7

+ 24

+ 2

) = −38

−15

−2

Таким образом, a ×b = −38i + j −15k .

Ответ:				×		(–38, 1, –15).
Ответ:			a	×	b	(–38, 1, –15).
Пример 1.21. Найдите площадь параллелограмма, построенного на век-
r	r			r		r	r	r	r	−k , как на сторонах.
торах a	= i	−1 j			+2k		и b	= 2i	−3 j	−k , как на сторонах.

Решение. Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах. Действительно, a ×b = a b sin(a,ˆb) , а правая часть этого равенства есть

формула площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах (рис. 1.19). Следовательно, искомая площадь S = a ×b .

В задаче

(1, –1, 2),

(2, –3, –1), значит

−1

. Вычислим

−3

−1

определитель:

−1

−3

−(−2

−6

−

) = 7

−

−3

−1

Таким образом,

= 7

−

. Найдем модуль полученного векторно-

го произведения:

72 +52 +(−1)2

= 75 . Т. е. площадь параллело-

грамма равна

масштабных единиц в квадрате.

Ответ: S =

75 кв. ед.

Пример

1.22.

Зная векторы,

образующие

треугольник

ABC:

= ir −3rj +

= ir +5 j −

= 2i +2 j , найти

длину высоты

этого

треугольника, опущенной из точки В.

Решение. Для нахождения длины высоты воспользуемся формулами площади треугольника. С одной стороны площадь треугольника равна поло-

вине произведения основания на высоту S = 12 AC BH (рис. 1.20), а с дру-

гой – половине площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, т. е. половине модуля векторного произведения S = 12 AC × AB .

Вычислим

= 2

−6

−(−2

) =

−3

−2

−4

Найдем модуль полученного векторного произведения:

= = 4 +4

+16 = 24 = 2 6 . Т. е. площадь треугольника ABC равна

6 масштабных единиц в квадрате, S =		6 .
Найдем длину стороны АС, она равна модулю соответствующего векто-
ра: AC = AC =	4 +4 +0 = 2 2 . Тогда	BH =	2S	=	2	6	=	3 (ед.)
			AC		2	2
Ответ: BH =	3 .

1.7. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов a , b и c называется число, равное скалярному произведению вектора a ×b на вектор c , т. е. ( a ×b , c ).

Обозначаться смешанное произведение может:

или

Пример

1.23. Вычислите смешанное произведение

векторов

ar = −i +7 j +3k , b = i +8 j −2k и

= i + j −k .

Решение.

Векторное произведение

+3k

векторов a

= −i

+7 j

br = ir +8 rj −2kr

вычислено в примере 1.20:

= −38

−15

. Значит,

по

определению a b c = ( a ×b , c ) = (–38, 1, –15) (1, 1, –1) = –38 + 1 + 15 = – 22.

Можно воспользоваться формулой для вычисления смешанного произ- xa ya za

ведения a b c = xb yb zb , где (xa , ya , za ) – координаты вектора a , xc yc zc

(xb , yb , zb ) – координаты вектора b , (xc , yc , zc ) – координаты вектора c .

			=	−1	7	3
				−1	7	3
				1	8	−2	= 8 + 3 – 14 – 24 – 2 + 7 = –22.
a	b	c		1	8	−2	= 8 + 3 – 14 – 24 – 2 + 7 = –22.
				1	1	−1

Ответ: a b c = –22.

Пример 1.24. Компланарны ли три векторы ar = −i − j +3k , br = −3ir +2 rj −2k и c =3ir +3rj −9k ?

Решение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Вычислим

смешанное произведение данных трех векторов:

−1

−3

−2

= 18 – 27 + 6 – 18 – 6 + 27 = 0. Значит, данные векторы ком-

−9

планарны, т. е. лежат в одной плоскости.

Пример 1.24. Найти объем V пирамиды ABCD, построенной на векторах

AB = ir −3rj +k , AC = ir +2 j −k , AD = −2i −5 j .

Решение. Модуль смешанного произведения трех векторов, выходящих из одной точки, равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Следовательно, объем треугольной пирамиды – это шестая часть модуля смешанного произведения векторов, на

которых она построена, т. е. V =									1				.
которых она построена, т. е. V =									1	AB	AC	AD	.
									6
									6
		Вычислим				смешанное			произведение трех данных векторов:
					1	−3	1
					1	−3	1
				=	1	2	−1	= 0 – 5 – 6 + 4 – 5 – 0 = – 12.
	AB	AC	AD	=	1	2	−1	= 0 – 5 – 6 + 4 – 5 – 0 = – 12.
					−2	−5	0
		Таким образом, V =					1	−12	=	1 12 = 2 (куб. ед.)
		Таким образом, V =					1	−12	=	1 12 = 2 (куб. ед.)
							6			6
							6			6

Ответ: V = 2.

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Ax + By +C = 0 . Иногда в общем уравнении выражают y через x и получают уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = kx +b .

Пример 2.1. Построить прямые на плоскости, заданные общими уравне-

ниями: а)l1 : 2x + y −3 = 0 ; б)l2 : x +5 = 0 ; в)l3 : 2 y −4 = 0 ; г)l4 : 3x −2 y = 0 .

Решение:

а) Прямая l1 задана уравнением 2x + y −3 = 0 . Если x = 0 , то 2 0+y–3=0 и y=3, и точка A(0;3) принадлежит прямой l1, что записывается: A(0;3) l1.

Пусть x =1, тогда 2 1+y–3=0 и y=1, то есть B(1;1) l1. Известно, что две точки однозначно определяют прямую на плоскости (рис. 2.1).

б) Прямая l2 задана уравнением x +5 = 0 , это значит, что абсцисса любой точки этой прямой равна –5, а ордината произвольная. Например, точки A(−5;0) и B(−5;2) определяют прямую l2 (рис. 2.2). Если в общем уравнении коэффициент при y равен нулю, то прямая параллельна оси Oy.

в) Из уравнения 2 y −4 = 0 следует, что произвольная точка прямой l3 имеет ординатой y = 42 = 2 , а абсциссой любое число. Например, точки A(−1;2) и B(3;2) определяют прямую l3 (рис. 2.3). Если в общем уравнении

коэффициент при x равен нулю, то прямая параллельна оси Ox.
г) Подставим в уравнение l4 : 3x −2 y = 0 значения x и, вычислив y,				составим
таблицу значений координат точек:	x	0	2 . Таким образом, точки	O(0;0) и
	x
	y
	y	0	3

A(2;3) определяют l4 (рис. 2.4). Если в общем уравнении прямой свободный коэффициент равен нулю, то прямая проходит через начало координат.

Пример 2.2. Найти общее уравнение прямой на плоскости, если известно, что она проходит через точку (2;–1) и составляет с осью Ox угол в 30°.

Решение. Рассмотрим в общем виде уравнение прямой, проходящей через данную точку (x0 ; y0 ) в заданном направлении: y − y0 = k(x − x0 ) . В этом уравнении коэффициент k – это характеристика направления прямой, k = tgα, где α – угол наклона

прямой к оси Ox.

В задаче k = tg30o = 13 , координаты известной точки равны (2;–1) (рис. 2.5). Можем составить урав-

уравнение прямой.

Пример 2.3. Найти угол между прямыми l1 и l2 , заданными уравнения-

ми: а) l1 : x + y +1 = 0 , l2 : 2x − y +3 = 0 ; б) l1 : 6x −2 y +1 = 0 , l2 : 3x − y −8 = 0 ;

в) l	: 2x − y +3	= 0 , l	2	:	1 x + y −1 = 0 .
1			2		2
							k1 −k2
	Решение.	Известно, что tg (l1,l2) =					k1 −k2		,
	Решение.	Известно, что tg (l1,l2) =				1	+ k1 k	2	,
						1	+ k1 k	2

где k1, k2 – угловые коэффициенты l1 и l2 соответст-
венно.
а)	Прямые l1 и l2 заданы общими уравнениями
(рис. 2.6), выразим y через x, узнаем угловые коэффици-
енты:	x + y +1 = 0 y = −x −1,	т. е.	k1 = −1;

2x − y +3 = 0 y = 2x +3,	т. е. k2 = 2 . Подставим полу-
		−1−2		−3
ченные коэффициенты:	tg (l1,l2 ) =		=		= 3 ,
		1+(−1) 2		−1

значит, искомый угол (l1,l2 ) = arctg3 .

б) Перепишем данные общие уравнения через угло-

вые коэффициенты: l1 : 6x −2 y +1 = 0 y = 3x + 12 , k1 =3; l2 : 3x − y −8 = 0 y = 3x −8, k2 = 3. Подставим коэффи-

циенты: tg (l1,l2 ) = 13+−332 = 100 = 0 , значит, искомый угол

(l1,l2 ) = arctg0 = 0o (рис. 2.7).

2 −(−1 2)

3 2

tg (l1,l2 ) =

не

существует,

следовательно,

(l1,l2 ) = 90

1+2 (−1 2)

(рис. 2.8). Если k = −

, то прямые перпендикулярны.

Пример 2.4. Составить общее уравнение прямой, проходящей через

точки A(3;−1) и B(−1;2) .

Решение. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две точки

A(x

; y

) и B(x

; y

) имеет вид:

x − x1

y − y1

. В нашем

x2 − x1

y2 − y1

случае (рис. 2.9) имеем:

x −3

y −(−1)

x −3

y +1

. Вос-

−4

−1−3 2 −(−1)

пользуемся

свойством

пропорции: (x −3) 3 = ( y +1) (−4)

3x −9 = −4 y −4 3x +4 y −5 = 0.

Пример 2.5. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок длины 3 и образующей с прямой 3x − y +1 = 0 угол в 45o.

Решение. Для того чтобы составить уравнение искомой прямой, надо найти точку, лежащую на ней, и направление, тогда можно будет воспользоваться уравнением y − y0 = k(x − x0 ) .

Искомая прямая образует угол в 45o с прямой y = 3x +1, значит, можно воспользоваться формулой для


нахождения		угла		между		прямыми.	Получим
tg45o =	k −3	, т. е.	k −3		=1 k −3 = 3k +1 k = −2 .
	1+3k		1+3k

Известно, что искомая прямая отсекает на оси Oy отрезок длины 3, т. е. она проходит (рис. 2.10) либо через точку A1(0;3) , либо через точкуA2 (0;−3) . В первом случае уравнение будет иметь вид y −3 = −2(x −0) , т. е.

y = −2x +3, а во втором y +3 = −2(x −0) , т. е. y = −2x −3.

Ответ: y = −2x ±3.

Пример 2.6. Составить уравнение стороны AB, медианы BM и высоты

CH треугольника ABC, если A(0;−1) , B(3;2) , C(−2;5) .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.08.2019112.13 Кб0варианты по макроэкономике.doc
#
24.08.2019114.69 Кб0варианты по микроэкономике.doc
#
22.08.20191.36 Mб7Введение в основы технологИи.doc
#
09.02.201544.66 Mб53Введение в электронику практический подход.pdf
#
09.02.2015537.97 Кб21Введение.docx
#
18.04.2015747.43 Кб35Векторная алгебра и аналитическая геометрия.pdf
#
09.02.2015963.07 Кб27Векторная алгебра.doc
#
09.02.2015649.73 Кб85Векторы.doc
#
27.08.20192.28 Mб4Великобритания.doc
#
25.11.2018136.19 Кб6Ветвление+Циклы.doc
#
23.09.2019107.01 Кб0ВОВ_1941.doc