- •6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (14 часов)
- •1. Функции нескольких переменных
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Теорема
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Определение 2
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Определение 7
- •Определение 8
- •Пример 4
- •Определение 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Определение 3
- •Определение 4
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Определение 5
- •Определение 6
- •Пример 5
- •Теорема 2
- •Теорема 3
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Теорема 2
- •Пример 4
- •Решение
- •2.2. Дифференцируемая функция. Условия дифференцируемости
- •Определение 1
- •Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости)
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Пример
- •Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости).
- •Доказательство
- •2.3. Производная сложной функции. Полная производная
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Следствие 1
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •3. Дифференциал функции нескольких переменных
- •3.1. Определение дифференциала функции нескольких переменных и его свойства. Инвариантность формулы дифференциала
- •Определение
- •Пример 1
- •Решение
- •Теорема 1
- •Пример 2
- •Решение
- •3.2. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
- •Теорема
- •Доказательство
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Пример
- •Решение
- •3.3. Приближенные вычисления и оценка погрешностей
- •Пример
- •Решение
- •4. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
- •Определение 1
- •Теорема 1
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение 2
- •Теорема 2
- •Доказательство
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 3
- •Решение
- •5. Производные функций нескольких переменных, заданных неявно
- •Определение
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Решение
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример 1
- •Решение
- •Определение
- •Теорема
- •Пример 2
- •Решение
- •6. Экстремум функции нескольких переменных
- •6.2. Экстремум функции двух переменных
- •Определение 1
- •Определение 2
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение
- •Теорема2
- •Доказательство
- •Пример 1
- •Теорема 3
- •Доказательство
- •Пример 2
- •Решение
- •Пример
- •Решение
- •6.4. Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
- •Теорема
- •Пример
- •Решение
- •6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (10 часов)
Теорема 1
n |
∂w |
(x1, x2 ,..., xn ) dxi обладает свойством инвариантности |
|
Дифференциал dw = ∑ |
|||
∂x |
|||
i=1 |
i |
||
формы, то есть формула для него сохраняет свой вид, если x1, x2,..., xn не простые |
независимые переменные, а являются функциями переменных v1, v2,..., vm . В этом случае дифференциалы dxi ≠ xi , а в свою очередь вычисляются по формулам
m |
∂x |
(v1, v2 ,..., vm ) dv j , i = 1,2,..., n . |
|
dxi = ∑ |
i |
||
∂v j |
|||
j=1 |
|
Доказательство этой теоремы легко провести самостоятельно.
Если u = f (x1, x2 ,..., xi ,..., xn ) и w = g(x1, x2 ,..., xi ,..., xn ) - функции n переменных, то при вычислении дифференциалов справедливы следующие правила:
d(c u)= c du , где c = const ; d(u ± w)= du ± dw ;
d(u w) = u dw + w du ;
d (u )= du w −u dw ;
w w2
5.df fw′ dw .(w)=
Эти правила удобно использовать при вычислении дифференциалов сложных функций.
Пример 2
Найти дифференциал функции трех переменных w = 3xyz .
Решение
dw = (3xyz )′xyz d(xyz)= 3xyz ln 3 (yz dx + xz dy + xy dz).
3.2. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Теорема
Если функция z = f (x, y) - дифференцируема в точке (x0 , y0 ), то существует не параллельная оси Oz касательная плоскость к поверхности z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 , f (x0 , y0 )), уравнение которой имеет вид
Z = z0 + ∂∂xz (x0 , y0 )(x − x0 )+ ∂∂yz (x0 , y0 )(y − y0 ),
где z0 = f (x0 , y0 ).
Доказательство
Напомним, что функция двух переменных z = f (x, y) задает в пространстве с введенной декартовой системой координат некоторую поверхность.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ), имеет вид: A(x − x0 )+ B (y − y0 )+C (z − z0 )= 0 . Если C ≠ 0 , то можно разрешить это уравнение относительно переменной z , тогда получим уравнение z = z0 + a (x − x0 )+b (y − y0 ),
где a = − CA , b = − CB .
22
Выясним, |
при |
каких значениях |
параметров a и b это уравнение |
является |
||||||||||
уравнением касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке (x0 , y0 ). |
|
|
|
|
||||||||||
Положив в этом уравнении |
y = y0 |
, |
|
y = y0 |
|
|
, |
|||||||
получим уравнение прямой |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z0 + a (x − x0 ) |
|
|||||
которая при |
a = ∂z (x0 , y0 ) |
является |
уравнением касательной к |
кривой, |
заданной |
|||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y = y0 |
|
, в точке (x0 , y0 ). |
|
|
|
|
|
||||||
системой |
= f (x, |
y) |
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Положив в этом уравнении |
x = x0 |
|
|
x = x0 |
|
|
, |
|||||||
, получим уравнение прямой |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = z0 +b (y − y0 ) |
|
|||||
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
x = x0 |
|
|
|
|||
которая при b = |
|
|
(x0 , y0 ) является уравнением касательной к кривой |
f (x, |
y) |
в |
||||||||
∂y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z = |
|
|
точке (x0 , y0 ).
Ясно, что обе эти касательные прямые принадлежат искомой касательной плоскости
(рис.8). Поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести только одну |
|
плоскость, то уравнение z = z0 + a (x − x0 )+b (y − y0 ) |
является уравнением |
касательной плоскости к поверхности z = f (x, y) в точке (x0 , y0 ) при a = ∂∂xz (x0 , y0 ) и b = ∂∂yz (x0 , y0 ).
Рис.8. |
Следствие 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = f (x, y), |
|
|
|
|
z = f (x, y) |
|||||||||
Если |
поверхность |
задана |
|
уравнением |
|
и |
функция |
||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируема в точке (x0 , y0 ), |
то уравнение нормали к этой поверхности в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
M 0 (x0 , y0 , z0 ), где z0 = f (x0 , y0 ), имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
|
|
= |
|
y − y0 |
|
|
= |
z − z0 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
(x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следствие 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полагая |
|
в |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
уравнении |
|
|
|
|
|
|
касательной |
|
|
плоскости |
||||||||||||||
z = z |
0 |
+ |
∂z (x , y |
)(x − x |
|
) |
+ |
|
(x , y |
)(y − y |
0 |
), |
|
x − x |
0 |
= x |
и |
y − y |
0 |
= |
y , можно |
||||||||||||||
|
∂y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
0 0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
установить, что
dz = ∂∂xz (x0 , y0 ) x + ∂∂yz (x0 , y0 ) y = z − z0 ,
23