3.Дифференциал функции нескольких переменных

Определение

w = f (x1, x2,..., xi ,..., xn )

Если

функция

дифференцируема

в

точке

M

0

(x0

, x0

,..., x0,..., x0 )

из ее области

определения

D Rn ,

то

линейная

1

2

i

n

относительно приращений

x1,

x2 ,..., xn часть полного приращения функции, то есть

n

функции f (x1, x2,..., xi ,..., xn ) в

величина

∑Ai xi

называется

дифференциалом

i =1

точке M0 и обозначается dw .

Учитывая замечание 1 раздела 2.2, формула для дифференциала в точке M0

имеет

вид:

dw = n

∂w

(M

0

)

x .

∑

∂x

i

i=1

i

Поскольку для независимых

переменных

xi

= dxi ,

i = 1,2,...n ,

то

последнюю

формулу для дифференциала в произвольной точке можно записать как

dz =

∂z

(x, y)

x +

∂z

(x, y)

y , или dz =

∂z

(x, y) dx +

∂z

(x, y) dy ,

∂x

∂y

∂x

∂y

Пример 1

Найти значение дифференциала

функции

z = arctg

x

в точке

M

0

(1,1), если

y

приращения

x = 0,02 ,

y = −0,03.

Решение

По формуле полного дифференциала dz =

∂z

(x , y

)

x +

∂z

(x , y

)

y . Частные

∂x

∂y

0

0

0

0

∂z

1

1

∂z

1

x

производные равны: ∂x =

,

= −

.

Вычислим

значения

1 + (

x

)2

y

∂y

1 + (

x

)2

y2

y

y

частных производных в точке M 0 :

∂z

(1,1)=

1 ,

∂z

(1,1)= −1 . Подставляя эти значения,

∂x

2

∂y

2

а также

значения

x

и

y

в

формулу

дифференциала,

получим

dz =

1

0,02 −

1

0,03 = −0,005.

2

2