ДМ ПРАКТИКА-3 Формулы включений и исключений
.docПрактическое занятие.
Формулы включений и исключений.
Пусть множество имеет элементов, каждый из которых может обладать или не обладать любым из свойств. Наличие у элемента какого-либо свойства обозначают , его отсутствие - , число элементов, обладающих выбранными свойствами обозначают . Например, запись означает число элементов, обладающих свойствами и , и не обладающих .
Число элементов, не обладающих ни одним из свойств , несовместимых друг с другом:
Число элементов, не обладающих ни одним из свойств , совместимых друг с другом:
В левой части формулы может стоять не только , но и, например, при . Тогда формула записывается относительно совокупности свойств и с обязательным выполнением свойств и следующим образом:
.
Задача 1. При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% студентов читает журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С, 40% - журналы А и С, 10% - журналы А,В и С. Сколько процентов студентов
-
не читает ни один из журналов;
-
читает в точности два журнала;
-
читает не менее двух журналов?
Ответ: 1) 20%; 2) 60%; 3) 70%.
Задача 2. На одной из кафедр университета работают тринадцать человек, причём каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро - немецкий, шестеро - французский. Пятеро знают английский и немецкий, четверо - английский и французский, трое - немецкий и французский.
-
Сколько человек знают все три языка?
-
Сколько человек знают ровно два языка?
-
Сколько человек знают только английский язык?
Ответ: 1) 2 человека; 2) 6 человек; 3) 3 человека.
Задача 3. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 - французский и 35 - немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий - 8, французский и немецкий - 10. Все три языка знают 5 человек.
-
Сколько человек знают только английский язык?
-
Сколько человек знают только французский язык?
-
Сколько человек знают только немецкий язык?
-
Сколько человек знают только или французский или английский язык?
-
Сколько человек не знают ни одного языка?
Задача 4. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимаются спортом, 30% участвуют в художественной самодеятельности, 50% работают в стройотряде, 20% занимаются спортом и участвуют в художественной самодеятельности, 10% занимаются спортом и работают в стройотряде, 5 % участвуют в самодеятельности и работают в стройотряде, наконец, 5% участвуют во всех трёх видах деятельности. Сколько процентов студентов:
-
занимается по крайней мере одним из двух видов деятельности: занимается спортом или участвует в художественной самодеятельности?
-
занимается одним только спортом?
-
занимается только одним видом деятельности?
-
занимается только двумя видами деятельности?