38. Атом водорода в квантовой механике. Сериальные закономерности. Постулаты Бора.

Швейцарский ученый И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

где R'=1,1010⁷ м^–1 — постоянная Ридберга.* Taк как = c/, то формула (209.1) может быть переписана для частот:

где R=R'c=3,2910¹⁵ с^–1 — также постоянная Ридберга.

Вытекает, что спектральные линии, отличающиеся различными значениями п, образуют группу или серию линий, называемую серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение n=  определяет границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр.

В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана:

В инфракрасной области спектра были также обнаружены:

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенном формулой Бальмера:

где т имеет в каждой данной серии постоянное значение, m= 1, 2, 3, 4, 5, 6 (определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с т+1 (определяет отдельные линии этой серии).

Постулаты Бора

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

где т_е — масса электрона, v — его скорость по n-й орбите радиуса r_n, ћ = h/(2).

Втором постулат Бора (правило частот): при переходе электрона с одной стационар­ной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (Е_n и E_m — соот­ветственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглоще­ния)). При Е_m<Е_n происходит излучение фотона (переход атома из состояния с боль­шей энергией в состояние с меньшей энергией, т. е. переход электрона с более удален­ной от ядра орбиты на более близлежащую), при Е_m>Е_n — его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т. е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот  = (E_n—E_m)/h квантовых перехо­дов и определяет линейчатый спектр атома.

40. Квантовая статистика. Распределение Ферми –Дирака и Бозе-Эйнштейна.

Состояние системы невзаимодействующих частиц за­дается с помощью так называемых чисел заполнения N_i — чисел, указывающих сте­пень заполнения квантового состояния (характеризуется данным набором i кван­товых чисел) частицами системы, состоя­щей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозона­ми — частицами с нулевым или целым

спином, числа заполнения мо­гут принимать любые целые значения: О, 1, 2, ... . Для систем частиц, обра­зованных фермионами — частицами с по­луцелым спином, числа запол­нения могут принимать лишь два значе­ния: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел за­полнения должна быть равна числу частиц системы. Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <N_i>.

Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозо­нов по энергиям вытекает из так называе­мого большого канонического распределе­ния Гиббса (с переменным числом частиц) при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым (см. § 227):

Это распределение называется распреде­лением Бозе — Эйнштейна. Здесь <Ni> — среднее число бозонов в квантовом со­стоянии с энергией E_i, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая тем­пература, m — химический потенциал; m не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех <N_i> равна полному числу частиц в системе. Здесь m£0, так как иначе среднее число частиц в данном квантовом состоянии отрица­тельно, что не имеет физического смысла. Он определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней одной частицы при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объем), фиксированы.

Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой стати­стикой Ферми —Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид

где <N_i>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией E_i, m — химический потенциал. В отличие от (235.1) m может иметь положительное значение (это не приводит к отрицатель­ным значениям чисел <N_i>). Это распреде­ление называется распределением Фер­ми — Дирака.

(E_i-m)/(kT)

Если е(^Ei-m)/(kT)>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:

(ср. с выражением (44.4)), где

Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожден­ной, если ее свойства существенным обра­зом отличаются от свойств систем, под­чиняющихся классической статистике. По­ведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от классического газа, они яв­ляются вырожденными газами. Вырожде­ние газов становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях. Параметром вырожденияна­зывается величина А. При А <<1, т. е. при малой степени вырождения, распределе­ния Бозе — Эйнштейна (235.1) и Фер­ми — Дирака (235.2) переходят в класси­ческое распределение Максвелла — Боль­цмана (235.3).

Температурой вырождения То называ­ется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеаль­ного газа, обусловленные тождественно­стью частиц, т. е. Т₀ — температура, при которой вырождение становится су­щественным. Если T>>T₀, то поведение системы частиц (газа) описывается клас­сическими законами.