4 семестр Физика-лаборатория

Федеральное агентство по образованию

__________________________________________________________________

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет)

__________________________________________________________________

Кафедра общей физики

Б.Б. Болотов, В.В. Благовещенский, В.В. Кашмет, Н.Г. Москвин

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Учебное пособие для студентов заочного отделения

Санкт-Петербург

2009

УДК 5.30

Болотов Б.Б., Благовещенский В.В., Кашмет В.В., Москвин Н.Г. Введение в физический практикум. Обработка результатов измерений [Текст]: учебное пособие для студентов заочного отделения / Под редакцией проф. В.В. Кашмета – СПб.: Синтез, 2008. – ***с.

Учебное пособие предназначено студентам заочного отделения, а также может быть .рекомендовано студентам первого курса других факультетов, выполняющих лабораторные работы по физике.

В пособии кратко рассмотрены методы обработки результатов измерений, оценки погрешности и точности этих результатов, указания к выполнению лабораторной работы по обработке результатов измерений.

Табл. 2, библиогр. 4 назв.

Рецензенты:

1Г.Г. Владимиров, д-р физ.-мат. наук, проф. СПбГУ

2В.П. Катушкин, д-р техн. наук, проф. зав. кафедрой электротехники и электроники СПбГТИ(ТУ)

Утверждено на заседании учебно-методического совета физико-математического отделения

28.11.2008.

Рекомендовано к изданию РИСо СПбГТИ(ТУ)

2

1 Обработка результатов измерений

Физический практикум – один из важнейших этапов изучения курса физики.

Цель проведения лабораторных работ – ознакомление с определенным физическим явлением, наблюдение его на опыте, экспериментальная проверка физических законов. При подготовке к работе студенты изучают теорию этого явления, а экспериментальное его исследование делает более наглядным смысл физических величин и физических законов. При этом студенты знакомятся с методами измерений, лабораторной техникой, получают навыки практической работы, оценивают достоверность полученных результатов.

Измерение физической величины означает сравнение её с другой однородной ей физической величиной, принятой за единицу измерения. Это осуществляется с помощью измерительных приборов (линеек, микрометров, весов, электроизмерительных приборов и т.д.), тем или иным способом сверенных с эталонными величинами.

Измерения в зависимости от способа получения результата делятся на прямые, косвенные и совокупные.

Прямые измерения, при которых результат получается непосредственно в результате измерения (определение геометрических размеров тел линейкой или штангенциркулем, измерение силы тока амперметром и т.д.).

Косвенные измерения, при которых значение измеряемой величины находится путем прямого измерения нескольких физических величин, связанных с измеряемой определенным соотношением.

Например, для определения объема цилиндра необходимо измерить диаметр его основания D и высоту Н (прямые измерения), а затем вычислить

его объем по формуле : V 4 D2 H .

Совокупные измерения – такие измерения, при которых значение измеряемой величины получается из совокупности прямых измерений нескольких величин, выполненных при различных независимых условиях.

Например, измерения характеристик источника тока – электродвижущей силы (ЭДС) и внутреннего сопротивления, выполненные при различных значениях сопротивления нагрузки.

Любое измерение не может быть произведено абсолютно точно, а сопровождается той или иной погрешностью. Погрешность (или ошибка измерения) – это отклонение измеряемой величины от её истинного значения. Величина и знак погрешности зависят от способа измерения, качества физических приборов, условий измерения и от опытности наблюдателя. Все погрешности измерений в зависимости от причин их появления принято делить на три класса: систематические, случайные и промахи.

3

Систематическими называют такие погрешности, причины появления которых и характер проявления, как правило, известны. Чаще всего они определяются способом измерения и чувствительностью приборов (измерение размеров линейкой, штангенциркулем или микрометром). Такие погрешности могут быть оценены и, по возможности, сведены к необходимому минимуму.

Случайные погрешности – такие ошибки измерений, причины появления которых нам неизвестна. Их появление связано с наличием ряда случайных причин, действие которых в различных опытах неодинаково. При взвешивании на аналитических весах такими могут быть влияние нестационарных воздушных потоков, различное трение в подвесках чаш, случайно осевшая пылинка. При точном измерении диаметра детали штангенциркулем проявляется качество её обработки, условия её хранения и т.д. Случайные ошибки не могут быть исключены и учтены при однократном измерении. Однако, при многократных измерениях их влияние может быть оценено. На основе теории случайных погрешностей можно установить пределы, в которых находится истинное значение физической величины и указать наиболее вероятное её значение.

Промахи – грубые ошибки, сильно искажающие результаты измерений. Чаще всего они связаны с ошибками экспериментатора. (Например, неправильный отсчет по шкале прибора). Результаты таких измерений отбрасываются.

2 Оценка величины случайной погрешности прямого измерения

Если появление погрешности носит случайный характер, то для её оценки пользуются методами теории вероятностей. Первым исходным положением теории случайных погрешностей является то, что при большом количестве измерений случайные погрешности, имеющие одинаковую абсолютную величину, но разные знаки, одинаково вероятны, т.е. число отрицательных равно числу таких же /по величине/ положительных погрешностей. Второе положение – за неизвестное нам истинное значение физической величины принимают её среднее арифметическое значение по результатам большого количества измерений, как наиболее вероятное её значение. И третье – неизвестные нам истинные величины погрешностей заменяют наиболее вероятными, рассчитываемыми как среднее значение абсолютной величины отклонения результата данного измерения от среднего его значения.

Пусть неизвестное истинное значение измеряемой нами величины А, а её измеренные значения – А1, А2, …., Аi, …., Аn, где n – число измерений.

При большом числе измерений n среднее значение Аср стремится к истинному значению величины А :

4

Разность между средним значением и результатом каждого измерения можно назвать случайной погрешностью данного измерения

Aср A1 A1

Aср An An

Для оценки результата измерений используют величину, называемую предельной абсолютной погрешностью ∆А. Она вычисляется по формуле

называется доверительным интервалом. Результаты большого числа измерений реализуются с наибольшей вероятностью в пределах доверительного интервала.

Точность измерений принято оценивать величиной, называемой

Эту величину обычно выражают в процентах. Более точно ошибка измерений (погрешность) оценивается средней квадратичной погрешностью

3Оценка погрешности результатов косвенных и совокупных измерений

Предположим, что перед нами стоит задача измерения объема прямого цилиндра. В результате прямых измерений мы получили величины диаметра его основания D и высоты цилиндра Н, и оценили их предельные абсолютные погрешности:

D = D ± D

H = H ± ∆H

5

как оценить погрешность, сопровождающую такое косвенное измерение? Чему равна величина ∆ V = ?

При измерениях мы всегда должны стремиться к тому, чтобы погрешность была малой по сравнению с измеряемой величиной. Поэтому с погрешностями можно обращаться как с бесконечно малыми величинами и к ним можно применять методы дифференциального исчисления.

Таким образом, если абсолютная погрешность намного меньше самой величины ( ∆А << A ), то ее можно считать бесконечно малым приращением (фактически дифференциалом) ∆A ≈ dA. Поэтому погрешность косвенного измерения, связанного с результатами прямых измерений некоторой

соответствующим переменным x, y, z, .… . При вычислении частной производной по некоторой переменной остальные переменные считаются постоянными.

Например: пусть f Cxn sin t , где С и n – постоянные.

fx C n xn 1 sin t;

f C xn cos t ;t

f C xn cos t t;

df C n xn 1 sin t dx C xn t cos t d C xn cos t dt.

6

В дифференциальном исчислении производные и дифференциалы имеют определённые знаки. Для погрешностей знаки плюс и минус равновероятны. Поэтому для оценки максимально возможной погрешности, называемой предельной, берётся наиболее неблагоприятный случай, когда все частные погрешности складываются. Поэтому погрешность ∆А может быть оценена по формуле:

Таким образом, для вывода формулы оценки предельной абсолютной погрешности косвенного и совокупного измерения можно предложить следующий алгоритм:

переменной.

2.Заменить символы дифференциалов d на символыпогрешностей ∆.

3.Все частные производные необходимо взять по абсолютной величине. Тогда формула для абсолютной погрешности

4.После вычисления величины абсолютной погрешности ∆А, оценивают относительную погрешность, используя формулу A AA , и приводят её в процентах.

Таблица 1 – Примеры вывода формул для вычисления абсолютной погрешности.

7

4 Вывод формулы для вычисления относительной погрешности ( в случае функций, удобных для логарифмирования )

Оказывается, что в некоторых случаях гораздо удобнее вывести формулу для относительной погрешности, т.к. она будет проще для вычислений, чем формула для абсолютной погрешности. Это относится к тем случаям, когда функция, описывающая измеряемую величину, содержит операции умножения, деления, взведения в степень, потенцирования, но не представлена в виде суммы или разности нескольких слагаемых. Такие функции удобны для логарифмирования.

Напомним, что дифференциал логарифма x равен dln x ln x dx 1x dx xx ,

что приближенно равно относительной погрешности для х , если ∆х – её

Это относится и к случаю, когда измеряемая величина является функцией многих переменных, причем она выражается формулой, удобной для логарифмирования.

Можно предложить алгоритм вывода формулы для расчета относительной погрешности.

3.Для получения формулы для предельной относительной погрешности необходимо взять частные производные по абсолютной величине, а символы дифференциалов заменить на символы погрешностей,

4. Вычислив относительную погрешность по формуле (10), можно оценить и абсолютную погрешность А А А .

Еще раз отметим, что этот способ применим для функций, удобных для логарифмирования (произведений, степенных функций и т.д.) и не дает никакой выгоды, если выражение представляет собой сумму (или разность) нескольких слагаемых.

8

Рассмотрим пример вывода формулы для относительной погрешности. Пусть измеряемая величина рассчитывается по формуле

С x2 sin2

Y y3

где С – константа, х , у и φ результаты прямых измерений, погрешности которых ∆х , ∆у и ∆φ найдены.

1.lnY = lnC + 2lnx+2 ln sinφ – 3 lny;

5Правила округления результатов вычисления физических величин и их погрешностей

Из-за наличия погрешностей в измеренной величине нецелесообразно сохранять недостоверные цифры. Пусть в результате многократных измерений вычисленное среднее арифметическое значение измеряемой величины А равно Aср 354,33 см , а средняя абсолютная погрешность

±4,45 см. Видно, что вычисление величины выполнено до сотых долей сантиметра, а погрешность распространяется на целые сантиметры. Следовательно, десятые и сотые доли будут недостоверными и сохранение их в конечном результате не имеет смысла. Поэтому приняты следующие правила округления и представления результата:

1.Все расчеты физических величин необходимо производить до четырех значащих цифр (ноль в начале числа не считается значащей цифрой).

2.Округление начинают с абсолютной погрешности. Ее вычисляют с тремя значащими цифрами, а округляют, как правило, до числа с одной

значащей цифрой всегда в сторону увеличения. (В нашем примере5 см). Исключением из этого правила являются случаи, когда первой значащей цифрой являются 1, 2 и 3. В этом случае допустимо

значительному увеличению относительной погрешности (почти в два раза).

9

3.Значение рассчитанной физической величины необходимо округлить до того десятичного разряда, который является последним в округленной абсолютной погрешности.

Внашем примере, если 5 см, то А = 354 см и результат записывается:

А = (354 ± 5) см или А = (354,3 ± 1,2) см, если А = 1,2 см.

Округление численного результата косвенных или совокупных измерений производится по общим правилам (в сторону увеличения, если в следующем разряде стоит цифра более 5 или в сторону уменьшения, если меньше 5).

Если в результате многократных измерений получается один и тот же результат, то за значения абсолютной погрешности принимают ±5 единиц следующего разряда, идущего за последней значащей цифрой. Также оценивают и погрешность однократного измерения.

4.Расчёт относительной погрешности производить с четырьмя значащими цифрами, затем округлить, оставив две значащие цифры и представить её в процентах.

В заключение отметим, что в настоящем пособии рассмотрены лишь самые основные и простейшие способы оценки погрешности измерений. В настоящее время существует хорошо отработанная количественная теория обработки результатов измерений, которая позволяет не только найти величину погрешностей, но и оценить вероятность их появления.

Несмотря на сделанное замечание, приведенные выше приемы оценки погрешностей в силу своей простоты могут быть использованы на начальной стадии обучения и в большинстве случаев обеспечивают достаточную надежность оценки результатов измерений.

6Лабораторная работа: Обработка результатов измерений. Вывод формул для оценки погрешностей. Представление результатов измерений физической величины.

Цель работы: получение навыков вывода формул для оценки погрешностей и обработки результатов измерений.

Работа состоит из четырёх заданий, примеры которых разобраны ниже.

Задание I : Вывести формулу для оценки предельной абсолютной погрешности косвенного измерения некоторой величины Y, получаемого в результате прямых измерений величин a, b, c, и т.д. При этом считается, что средние значения величин a, b, c и абсолютные погрешности этих измерений ∆a, ∆b, ∆c и т.д. расчитаны.

10