Lab_1_08_Phys
.pdf
©Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ
Работа 1.08
ИЗМЕРЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ ВОЗДУХА РЕЗОНАНСНЫМ МЕТОДОМ
3адача
1.Измерить собственные частоты колебаний поршня в трубке при условиях, когда возвращающая сила создается:
а) магнитным полем; б) магнитным полем и адиабатически сжимаемым воздухом.
2.По собственным частотам вычислить показатель адиабаты воздуха.
3.В режиме б) получить резонансную кривую.
ВВЕДЕНИЕ
В этой работе исследуют колебания поршня в вертикальной трубке (Рис.1). В нижний торец поршня 6 заделан постоянный магнит 5. Другой постоянный магнит - кольцевой 3 - помещен снаружи трубки. Одинаковые полюсы магнитов обращены друг к другу. При равновесии сила отталкивания магнитов уравновешивает силу тяжести поршня Fm0 = -mg (Рис. 1.а), m - масса поршня, g - ускорение
свободного падения. Если сместить поршень из положения равновесия, равенство этих сил нарушится. На Рис. 1.б, например, показано смещение поршня вниз на некоторое расстояние x . При этом магниты сблизились, сила их отталкивания увеличилась и превзошла силу тяжести. На поршень теперь действует результирующая сила F1 = Fm - mg , направленная против смещения (в нашем
примере - |
|
|
вверх). При малых |
смещениях поршня силу F1 , |
можно в |
|
первом |
|||||||||||||
приближении считать пропорциональной смещению: F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
а) |
|
|
Fm0 |
|
|
|
|
б) |
Fm |
6 |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mg |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 = -K1 × x |
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
|
Когда нижний торец трубки закрыт, на поршень, кроме уже названных, |
|||||||||||||||||||
действует сила, обусловленная разностью давлений по разные стороны поршня: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fa = S × (P - P0 ) = -Ka × x |
|
|
|
|
|
(2) |
|||||
|
3десь |
|
|
S = π × D2 4 |
- площадь поперечного сечения поршня, |
D - его диаметр, |
||||||||||||||
P0 и P |
- давления |
в закрытой и открытой камерах трубки. В этом |
случае |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
http://www.physics.spbstu.ru |
результирующая сила, возвращающая поршень в положение равновесия: |
|
F2 = F1 + Fa = -K2 × x |
(3) |
где K2 = K1 + Ka . |
|
Коэффициенты K1, K2, Ka , характеризуют упругие свойства соответствующих
механических систем и носят название коэффициентов жесткостей. Они определяются через первые производные той или иной силы по координате x . Производные должны вычисляться при x = 0 , т.е. в положении равновесия поршня:
K1 = - |
dF1 |
|
; K2 = - |
dF2 |
|
|
; Ka = - |
dFa |
|
(4) |
||||
dx |
|
dx |
|
|
dx |
|
||||||||
|
|
x=0 |
|
|
|
x=0 |
|
x=0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Предметом изучения в этой работе служат упругие свойства воздуха, поэтому |
||||||||||||||
нужно вычислить жесткость: |
|
|
|
dP |
|
|
|
|
2 dP |
|
|
|
|
|
|
Ka = - S |
|
= - S |
|
|
(5) |
||||||||
|
dx |
|
|
dV |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x=0 |
|
V =V |
|
|
|
|||||
Здесь V - объем закрытой (нижней) |
|
|
|
|
0 |
V0 |
- объем V при |
|||||||
камеры, |
поэтому |
|||||||||||||
равновесии поршня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При быстрых процессах воздух в камере не успевает заметно обмениваться теплом со стенками. Такие процессы можно считать адиабатическими. Уравнение
адиабаты идеального газа |
|
|
P ×V γ |
= Const. |
(6) |
Здесь γ = CP CV - показатель |
адиабаты, CP и CV |
- теплоемкости газа |
(воздуха) при постоянном давлении и объеме соответственно. Дифференцирование
(6) по объему дает
|
|
V γ × |
dP |
|
+ P ×γ ×V γ −1 = 0 |
|
|
|||||||||||
следовательно, |
dV |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
dP |
|
|
|
|
|
= -γ × |
|
|
|
|
|
(7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dV |
|
|
|
V |
|
|
|
||||||||||
|
|
V =V0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Учитывая (2) и (5), получаем: |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
π × D2 ö2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
× S 2 |
|
|
P |
æ |
|
||||
|
K |
a |
|
= γ × |
0 |
= γ × |
0 |
×ç |
4 |
÷ |
(8) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
V |
ç |
÷ |
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
è |
|
ø |
|
||||||||
Если поршень вывести из положения равновесия и отпустить, он будет |
||||||||||||||||||
совершать свободные колебания с собственной частотой: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f0 |
= |
× |
|
K |
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если действует еще и внешняя гармоническая сила |
|
|
|
|||||||||||||||
F = F0 × cos(2π × f ×t), |
|
|
(10) |
|||||||||||||||
то установятся вынужденные колебания поршня с частотой вынуждающей силы |
f . |
|||||||||||||||||
Их амплитуда зависит от этой частоты. При частотах |
f , близких к собственной |
|||||||||||||||||
2
©Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ
частоте f0 , амплитуда колебаний сильно возрастает. Это явление называют
резонансом, а частоту, при которой амплитуда максимальна - резонансной частотой,
зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты называют резонансной кривой.
Если трение мало, резонансная частота практически совпадает с собственной. Поэтому, измерив две резонансные частоты: при трубке, открытой с обоих торцов
f01 = |
1 |
× |
|
K1 |
|
(11) |
||
2π |
|
m |
||||||
|
|
|
|
|
||||
и при трубке, закрытой с одного торца |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f02 = |
|
× |
|
K2 |
(12) |
|||
2π |
|
|
m |
|||||
можно вычислить |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ka = 4π 2 ×(f022 - f012 )× m |
(13) |
|||||||
(получено исключением K2 из формул (11) и (12)). Приравняв правые части (8) и (13), выражаем показатель адиабаты через измеряемые в опыте величины:
γ = |
64 × m ×V |
× (f 2 |
- f 2 ) |
(14) |
|
P × D4 |
|||||
|
02 |
01 |
|
||
0 |
|
|
|
||
УСТАНОВКА
Схема установки показана на Рис. 2. Обозначения узлов и деталей те же, что в предыдущем разделе и на Рис. 1. Стеклянная трубка 1 укреплена на штативе 2. О постоянных магнитах 5 и 3 сказано во введении к этой работе. Нижний торец трубки открывается и закрывается при помощи резиновой пробки, размещенной у основания штатива (на схеме не показана).
|
9 |
|
|
8 |
|
|
7 |
|
mV |
6 |
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
Г |
Hz |
|
≈ |
0 0 0 |
2
1
Рис. 2
3
http://www.physics.spbstu.ru
Над кольцевым магнитом 3 расположена возбуждающая колебания поршня катушка 4. Она питается от генератора синусоидального напряжения Г. Переменное магнитное поле этой катушки воздействует на постоянный магнит 5; так создается вынуждающая сила регулируемой частоты (формула (10)).
Собственные частоты колебаний поршня не превышают 20 Гц. При столь малых частотах точность прямых измерений частоты не может быть высокой. Поэтому рекомендуется использовать частотомер-хронометр Hz в режиме измерения периода колебаний Т.
При колебаниях поршня постоянный магнит 8 индуцирует в измерительной катушке 9 ЭДС, пропорциональную амплитуде колебаний поршня. Ее ЭДС измеряют милливольтметром mV.
Для того чтобы уменьшить прямую магнитную связь между возбуждающей 3 и измерительной 9 катушками, магниты 5 и 8 с помощью немагнитного стержня 7 разнесены на значительное расстояние друг от друга.
ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Некоторые данные: масса поршня m , его диаметр D , объем нижней камеры V0 измерены до сборки; их значения и погрешности измерения указаны на установке. Занесите их в протокол. При помощи настенного барометра измерьте атмосферное давление P0 , занесите в протокол результат измерения и его погрешность.
2.Убедитесь, что частотомер-хронометр включен в режиме измерения периода колебаний. Подготовьте к работе установку. Убедитесь в возможности наблюдения резонанса. Для этого, плавно изменяя частоту в диапазоне 5-20 Гц, визуально наблюдайте за колебаниями поршня. Проделайте это при открытой и закрытой нижней камере.
3.При открытой нижней камере проведите многократные (5-10 раз) измерения
периода резонансных колебаний T01 . Результаты заносите в Табл. 1.
Таблица 1
m = K±K г |
|
|
D = K±K см2 |
|
|
|
|
|||||||
V = K±K см3 |
|
|
P0 = K±K мм.рт.ст. = K±K Па |
|
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
T01 |
f01 |
= |
103 |
f01 − f01 |
(f01 − |
2 |
T02 |
f02 |
= |
103 |
f02 − f02 |
(f02 − f |
2 |
T01 |
f01 ) |
T02 |
02 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Гц2 |
|
|
|
|
Гц2 |
|
|||
|
мс |
|
Гц |
Гц |
мс |
|
Гц |
Гц |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Резиновой пробкой закройте нижнюю камеру и вновь проделайте операции, указанные в п. 3. Результаты также заносите в Табл. 1.
5.Вычислите резонансные частоты, соответствующие измеренным значениям
периодов f01 = 1
T01 Гц, f02 = 1
T02 Гц. Вычислите средние значения резонансных
4
©Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ
частот, а по формуле (14) - показатель адиабаты воздуха.
6.Заполните полностью Табл.1: вычислите частные значения отклонения резонансных частот от среднего и их квадраты, а затем абсолютные погрешности
резонансных частот по правилам оценки случайных погрешностей результатов прямых измерений.
7.Оцените относительную погрешность измерения показателя адиабаты:
|
Dγ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
δγ = |
= |
(δm)2 + (δV )2 |
+ (δP )2 + (4 ×δD)2 |
+ (δ (f |
2 |
- f |
2 ))2 |
(15) |
||||||||
|
02 |
|||||||||||||||
|
|
γ |
0 |
0 |
|
|
|
|
01 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь δ означает |
относительную погрешность |
(например, |
δm = Dm |
m |
). |
|||||||||||
Последнее слагаемое в (15) вычисляйте по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δ (f02 |
2 - f012 )= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(2 × f02 × Df02 )2 + (2 × f01 × Df01)2 |
|
|
|
(16) |
||||||||||||
|
|
f022 - f012 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прежде чем производить вычисления по (15), сопоставьте относительные погрешности отдельных величин и отбросьте малые.
Вычислите абсолютную погрешность показателя адиабаты и запишите окончательный результат измерения.
8. Для закрытой нижней камеры вновь установите режим резонанса. Плавно изменяя частоту, снимите зависимость показаний милливольтметра от частоты. Частоту регулируйте как в сторону увеличения (от резонансной), так и в сторону уменьшения. Старайтесь, чтобы по каждую сторону от резонансной частоты было получено 5-6 точек, а амплитуда колебаний уменьшилась в несколько раз. (При этих измерениях не регулируйте выходной сигнал генератора). Результаты заносите в Табл. 2.
Таблица 2
|
f0 = K, Гц |
Um = K, мВ |
||
Номер опыта |
T , мс |
f , Гц |
U , мВ |
U Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Заполните полностью Табл. 2: вычислите для каждого измерения отношение показания вольтметра максимальному из них (резонансному Um ). Постройте
резонансную кривую - зависимость U
Um от f .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Как вычислить силу упругости адиабатически сжимаемого газа? Почему следует оговаривать, как именно (адиабатически !) производится сжатие?
2.Почему нельзя непосредственно измерить жесткость адиабатически сжимаемого воздуха и приходится измерять две резонансные частоты?
3.Какова роль возбуждающей 7 и регистрирующей 6 катушек? Почему они разнесены на значительное расстояние?
5