Лекция №2С-3 Сопротивление материалов новая
.pdf
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Инженерно-строительный институт Кафедра сопротивления материалов
ЛЕКЦИЯ № 2С-3
Энергетические методы расчета упругих систем
Сопротивление материалов
Слайды видеолекций для студентов технических направлений
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
2014
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014 ©
Потенциальная энергия упругой деформации стержня
|
Рассматриваем |
|
закрепленный одним |
|
концом |
|
призматический |
|
стержень длины ℓ и |
|
площади А, |
|
растягиваемый |
|
силой F |
|
Условие энергетического баланса |
Статическое нагружение: |
U=W |
|
Работа W внешней силы F увеличивает лишь потенциальную энергию U упругой деформации стержня.
F
E A
F(x) E A x
2
•Сила и перемещение связаны
линейно.
Приращение работы dW силы
F(x) на бесконечно коротком пути dx
dW F(x)dx
Полная работа переменной силы на
конечном перемещении
W F(x)dx
0
3
• В итоге получаем
|
l |
|
EA |
|
l |
|
EA |
2 |
W U |
|
F(x)dx |
|
|
|
xdx |
|
l |
|
l |
|
2l |
|||||
0 |
|
0 |
|
|
||||
W U 12 EAl l 2 12 EAl F 2 12 F l
4
Кручение стержня
x M xl
GIk
где Mx – крутящий момент, φх – угол закручивания, l – длина, G – модуль сдвига, Ik – момент инерции сечения стержня при кручении; для круга Ik = Ip.
Аналогично получаем
U W 12M x x 12 GIl k M x2 12 GIl k x2
5
Плоский чистый изгиб стержня
Угол поворота φz концевого сечения в зависимости от изгибающего момента Mz
z M zl
EI z
где l – длина, Е – модуль упругости, Iz – осевой момент инерции сечения.
Аналогично получаем
U W 12M z z 12 EIl z M x2 12 EIl z z2
6
Плоский поперечный изгиб
Mz(x) ≠ const
dU dW 1 M2z dx 2 EIz
U W M z2dx
l 2EI z
Вклад в потенциальную энергию упругой деформации вносит поперечная сила Qy
U W l ky2QGAy dx
где ky – коэффициент формы поперечного сечения балки
7
В случае сложного изгиба с кручением и растяжением-сжатием
U W |
M 2dx |
|
M y2dx |
|
M |
2dx |
|
||||||
z |
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
2EI y |
|
|
|
|
||||||||
l 2EIz |
|
l |
|
|
l 2GIk |
|
|
|
|||||
|
l |
N2dx |
|
l |
kyQ2ydx |
l |
k Q2dx |
||||||
|
x |
|
z z |
||||||||||
|
2EA |
2GA |
2GA |
||||||||||
8
ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СИСТЕМЫ. ЗАКОН ГУКА ДЛЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
f1 =f11 + f12 f2 = f21 + f22
2 |
f22 |
f21
1
A
f11 и f12 – перемещения в первом направлении под действием сил P1 и P2,
f21 и f22 – перемещения во втором направлении под действием сил P1 и P2
B2
B1 |
yB f2 |
B |
f12 |
B f1 |
|
||
|
f11 |
|
M0=P1
F=P2
9
• Коэффициенты податливости
11 |
|
f11 |
|
|
f12 |
|
|
|
f21 |
22 |
f |
22 |
P1 |
|
|
|
|
||||||||
P2 |
|
P1 |
|
|||||||||
|
P |
|||||||||||
|
|
12 |
|
|
21 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
f1 f11 f12 11P1 12P2,f2 f21 f22 21P1 22P2.
Обобщим на случай действия n обобщённых сил
f1 |
11P1 |
... 1i Pi |
... 1n Pn , |
|||||||
f |
2 |
|
21 |
P |
... |
2i |
P |
... |
2n |
P , |
|
|
1 |
|
i |
|
n |
||||
..................................................... |
||||||||||
|
|
|
|
|
... ni Pi ... nn Pn . |
|||||
|
|
n1P1 |
||||||||
fn |
||||||||||
Эту систему уравнений называют законом Гука для перемещений.
10