- •Оглавление
- •Введение
- •1. Основные понятия теории системного анализа и принятия решений
- •Классификация задач принятия решения
- •Калибровочные соотношения между альтернативами
- •2.1. Однокритериальные задачи в условиях определенности
- •2.2. Многокритериальные задачи в условиях определенности
- •2.3. Принятие решений в условиях неопределенности
- •2.3.1. Принятие решений при наличии неопределенных факторов
- •Системная матрица расчетных случаев риска
- •2.3.2. Принятие решений в условиях отсутствия информации
- •2.3.3. Принятие решений в условиях нечеткой информации
- •2.3.4. Методы построения функций принадлежности
- •Качественные оценки градации альтернатив
- •3. Принятие решений с использованием критерИев
- •3.1. Минимаксный критерий
- •3.2. Расширенный минимаксный критерий
- •3.3. Критерий байеса-лапласа
- •3.4. Критерий сэвиджа
- •3.5. Модели агрегирования критериев
- •Схемы агрегирования локальных критериев
- •3.6. Основные понятия теории игр
- •Игра с нулевой суммой
- •3.7. Многомерные модели принятия решений
- •4. Методы многокритериальной оптимизации
- •4.1. Аксиоматическая теория полезности
- •4.2. Метод electre I
- •4.3. Метод electre II
- •4.4. Метод анализа иерархий (аналитическая иерархия)
- •5. Синтез оптимального управления объектами
- •5.1. Уравнение эйлера
- •5.2. Формализация задаЧи синтеза оптимальНого управления
- •5.3. Критерии оптимальности автоматических систем
- •5.4. Применение вариационного исчисления в оптимальНом управлении
- •5.5. Синтез оптимального управления. Метод бойчука
- •6. Задачи вычисления численных оценок
- •6.1. Процедура построения квазипорядка на множестве объектов (задача об упаковке)
- •6.2. ПроцедурА оптимального назначения объектов (Задача о назначениях)
- •6.2.1. Постановка многокритериальной задачи о назначениях
- •6.2.2. Формальный анализ задачи
- •6.2.3. Графы предпочтения
- •6.2.4. Матрица предпочтения
- •6.3. Задача планирования производства
- •6.4. Задача Принятия решений в условиях риска
- •6.5. Пример использования критериев
- •6.6. Задача постороенИя функций принадлежности
- •6.7. Синтез оптимального управления с использованием метода Бойчука
- •6.8. Объектно-ориентированный подход в системном анализе и управлении
- •6.8.1. Структура построения проекта задачи системного анализа с использованием ооп
- •Библиографический список
5.1. Уравнение эйлера
Определим линейный функционал, L(y(x)), как линейную функцию в линейном пространстве со следующими свойствами.
1. L(y(x) + y1(x)) = L(y(x)) + L(y1(x))
2. L(y(x)) есть непрерывный функционал.
Например L(y) =dx,L(y) =dx, где— произвольная функция от x.
Для экстремума дифференцируемых функций, определенных на линейных метрических пространствах, в точке экстремума первый дифференциал обращается в нуль. В применении к функционалам можно положить, что необходимое условие экстремума функционала — обращение в нуль его первого дифференциала.
Пусть есть функционал. Дифференциал функционала, заданного в некотором функциональном пространстве (при переходе от функцииy(x) к новой функцииy1(x) должен быть линейным функционаломL(y1 –y), такой, чтоL(y1) –L(y) –L(y1–y) есть величина, стремящаяся к нулю быстрее расстоянияr(y,y1), т. е.I(y1) =I(y)L(y1–y) r(y,y1), гдестремится к нулю быстрее расстоянияr(y,y1). Обозначим первый дифференциал функционалаI(y) его вариациейI:
I=L(y1 –y) (4.18)
Исследуем на экстремум функционал:
где ,— дважды дифференцирумая функция своих аргументов, т. е. Fобладает непрерывными частными производными до второго порядка включительно по всем аргументам.y =y(t) — кривая, на которой функционалIпринимает определенное значение. Будем полагать, чтоy =y(t) обладает первой и второй непрерывными производными. Полагаем, что для всех линий, достаточно близких к линииy =y(t), функционалIтакже определен. Построим кривуюy=y1(x) =y(x)+y(x), близкую к кривойy=y(x). Пустьy1(x) совпадает сy(x) для всех значенийx, лежащих вне малого интервала [x1,x2], содержащего некоторую избранную абциссуc(x1<c<x2). При построении кривыеy(x) иy1(x) определяют некоторый бугорок, возвышающийся над кривойy(x). Площадь такого бугорка равна:
Функциональной производной в точкеcбудем называть предел отношения приращения функционалаI(y1) –I(y) к площади, когда бугорок стягивается в точку.
Рассмотрим y(x) на функциональном пространствевсех дифференцируемых функций, обладающих непрерывной производной, причем за расстоянияr(y,y1) между функциямиy(x) иy1(x) примем их близость первого порядка:y=y(x) = y1(x) –y(x),yобладает непрерывной производной:
Запишем вариацию функционала:
Из преобразования для вариации функционала:
и из требования, чтобы Iобращалось в нуль для произвольной функцииy, Лагранж вывел уравнение Эйлера:
Этому уравнению должна удовлетворять функция y=y(x), дающая экстремум интегралу:
Кривые удовлетворяющие уравнению Эйлера называют экстремалями.
5.2. Формализация задаЧи синтеза оптимальНого управления
Пусть движение объекта автоматического регулирования описывается, в общем случае нелинейным дифференциальным уравнением n-го порядка.
(4.26)
где ;;kn;u=u(t)—сигнал управления;x=x(t)—выходная (регулируемая) величина;—возмущение;,—производные регулируемой величины и возмущения;——нелинейные функции,t—время. Рассматриваются нелинейные аналитические функции, которые однозначно определены при всех абсолютных значениях аргумента в интервале [0,].
Задача синтеза оптимального управления автоматическими системами: найти такой закон управления объектомОв виде функции регулируемой величины, задания и возмущения:
(4.27)
где — задающее воздействие,r — порядок производной задания; чтобы мини-мизировать или максимизировать интегральный критерий:
где F — заданная функция;r — порядок производной задания;T — рассматриваемый промежуток времени.
б
а
Рис. 4.1. Объект (а) и структура оптимального управления (б): У—управляющее устройство;О—объект регулирования
Задача поставлена как детерминированная, т. е. поведение системы в будущем целиком и полностью определяется ее состоянием в данный момент времени и величиной управления.
Построение оптимальных систем связано с решением родственных математических задач, которые делятся на два класса.
1. К первому относятся задачи, связанные с определением и расчетом самого режима невозмущенного воздействия. Ищется алгоритм автоматического управления, при котором данное невозмущаемое движение приобретает требуемые экстремальные свойства. Такие системы будем называть оптимальными по режиму управления.
2. В другом классе задач ищется регулятор, гарантирующий существование заданных свойств возмущенного движения (переходного процесса). Такие системы будем называть оптимальными по переходному процессу.
В обоих случаях задача оптимизации может быть трактована как двухточечная граничная задача, к решению которой применимы все методы вариационного исчисления.
В первом случае решение задачи получается в виде известных функций времени u = u(t). Это решение не очень удачно, ибо такое управление существенно зависит от начальных условий движения и не может скомпенсировать неизбежные изменения параметров объекта, так как является разомкнутым.
Во втором случае ищется закон регулирования в его аналитической форме, как некоторая функция исходных координат системы, т. е. задача состоит в конструировании дифференциального уравнения регулятора.
Помимо отыскания оптимального управления только как функции координат системы или только функции времени, в некоторых случаях целесообразно определять оптимальное управление в функции координат системы и времени: .
Одной из сложных задач, возникающих при синтезе оптимального управления, является учет ограничений величины управляющего воздействия (насыщение):
(4.29)
и скорости его изменения:
(4.30)
Ограничения (4.29) и (4.30) могут выполняться в отдельности и в определенных комбинациях.