Mod2_KR
.pdfДистанционный курс “Математический анализ для заочников” 3 семестр Контрольная работу по тематическому модулю-2
“Дифференциальное исчисление функции одной переменной” (в скобках указаны баллы за задание)
Задание 1. Найти производную y для функции y f x , пользуясь таблицей производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования функций. Упростить полученную производную (2 балла).
Задание 2. Продифференцировать функцию y f x , пользуясь теоремой о производной сложной функции. Упростить (по возможности) полученную производную
(2 балла).
Задание 3. Продифференцировать функцию y f x , пользуясь теоремой о производной сложной функции (2 балла).
Задание 4. Продифференцировать функцию y y x , пользуясь правилом логарифмического дифференцирования (2 балла).
Задание 5. Продифференцировать функцию y y x (максимально упростить полученную производную) (2 балла).
Задание 6. Найти первую, вторую, третью, четвертую производные для функции y f x (2 балла).
Задание 7 (Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях). 1) Линеаризовать функцию y f x в окрестности точки x0 по формуле
y f x f x0 f x0 x x0 .
Вычислить приближенно значение функции y f x в заданной точке x;
2) представить функцию y f x приближенно вблизи точки x0 квадратичной функ-
цией по формуле y f x f x0 f x0 x x0 |
f x0 |
x x0 2 . |
|
2 |
|||
|
|
||
Пользуясь полученной формулой, вычислить |
приближенно значение функции |
y f x в точке x. Полученный результат сравнить с результатом пункта 1) данной задачи (3 балла).
Задание 8. Дана функция f x и точка |
x0 . Разложить функцию f x по формуле |
Тейлора в окрестности указанной точки x0 |
до четвертого порядка производной вклю- |
чительно (3 балла). |
|
Всего за контрольную работу 18 баллов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|||||
1 |
y |
1 |
x |
; |
f(x) |
|
x2 ln(x) |
|
|
|
ln(x) x x |
||||
2 |
4 |
||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
5х 6 |
|
|
|
|
||
2 |
у ln arcsinx ; |
у |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
х2 3x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3у 3ctg2х ln sinx 3
4y x2 1 lnx
5y x arcsin 1/x ln x x2 1
6 |
y 4x ln x 2 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
7 |
у ех(1 х) |
|
|
|
|
|
х0 1, |
x 1,1 |
|||||||
|
2x 1, |
||||||||||||||
8 |
y 2x x2 |
2cos x 1 , |
x 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
||||
1 |
y |
|
x |
f(x) cos(x) x2 2 cos(x) 2 sin(x) x |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
2х 1 |
|
||||||
2 |
у log2 sinx ; у |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
х2 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3у 34 3arccosх 2х2 1 4
4у ctg х sinх
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x 1 |
||||
5 y |
x 1 |
|
|
e |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
y 3 x |
1 |
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
7 |
у |
1 х 3 |
sin x, |
х0 0, x 0,2 |
|||
8 |
y 4x x2 |
2cos x 2 , x |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ex x |
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|||
1 |
y |
, |
f(x) x2 cos(x) 3 cos(x) 2 sin(x) x |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
ex x |
|
|
3х 5 |
|
|
||||
|
у |
|
; у |
|
|
|
|||||
2 |
lnx |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
х2 3x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3у 13 3arcsinх x х 1 3
4y x2 lnx
|
1 |
|
|
x |
|
5 y |
ln |
1 2 |
|
||
ln4 |
x |
||||
|
|
1 2 |
|
|
6 |
y sin 2x 1 log3 2 3x |
|
|||
7 |
|
|
|
|
|
у |
3х2 6х 5, |
х0 7, x 6,85 |
|||
8 |
y 6ex 2 x3 3x2 6x, |
x 2 |
|||
|
|
|
|
|
0 |
Вариант 4
1 y |
x |
, y x3 lnx |
|
arcsinx arccosx |
|||
|
|
2 у ex , у 2х 1 х2 1
3 |
у 2аrccos |
1 х2 |
6ln 3 |
|
х 1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
х 1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
у x ln2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y x2 |
arctg |
|
x2 |
1 |
|
|
x2 |
1 |
||||||||||
6 |
y e2x 1 x4 2x3 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7 |
у |
|
|
1 |
|
|
e2x 3, |
х0 |
1,5, |
x 1,52 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2х 1 |
||||||||||||||||||
8 |
y 2ln x 1 |
2x x2 |
1, |
|
x 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Вариант 5
1y x2 2, y x2 sinx 2xcosx 2sinx
x2 2
2 у 4sin |
|
; у |
|
3х 2 |
|
x |
|
||||
|
|
|
|||
|
х2 4x 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
3у 15 3arctg2х ln 1 2х2 5
4y 2x 1 x
5 |
y |
sin x |
ln 1 sin x lncosx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
y ln x 3 2 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7 |
у |
|
ех е х |
|
sin2 2x , |
х0 |
0, |
x 0,13 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2cos x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
8 |
y 2x x2 |
, |
|
x |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
1 |
y x3 tgx, |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
у ln lnx etgx; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
у 2 |
|
2x х2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 |
x 3 |
|
|
|
|||||||||
3 |
y |
|
sin ln2 x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
у х ln х 1/х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
y |
2x 1 |
2x |
1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
ln2 |
|
||||||||||||||||||||||||
6 |
y |
|
4x 1 |
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
у |
3 |
cos2 х 3 |
, |
х |
3, x 3,01 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
y cos2 x 1 x2 |
2x, |
|
x |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
1 |
y |
1 |
ex sinx cosx , y |
arcsinx 1 |
|
|||||
|
arccosx 1 |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
у ln tgx ; |
у |
2x 4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х2 8 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3y 14 earctg3х x2 ln2 x 4
4y lnx sinx
5 |
y x ln x |
|
x2 3 |
|
|
|
x2 3 |
|
||||||||||||||||||
6 |
y |
|
log2 |
x 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7 |
у 3 |
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
х0 2, |
|
x 1,95 |
|||||||||||||
4 2х |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y 2lnx x2 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8 |
4x 3, |
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
arcsinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|||||
1 |
у |
|
, |
|
f(x) := x2 cos(x) 2 cos(x) 2 x sin(x) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
arccosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|||||||||
2 |
у arctg lnx ; |
|
у |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
у |
1 |
ln2 tg |
|
|
sin lnx 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
х |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
у tgх x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
y |
e2x 2sin3x 3cos3x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
y ex 2x2 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7 |
у ln 1 2х , |
|
х 0, |
x 0,01 |
||||||||||||||||||||||
8 |
y 1 2x x2 |
2cos |
|
x 1 , x 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
||
1 |
у |
arctgx |
, |
y 1 x |
2 |
arctgx x |
x2 1 |
||||
arcctgx |
|
x |
|
||||||||
|
у arcsin x4 ; |
у ln x |
|
|
|
|
|||||
2 |
x2 3 |
|
|
3у 13 sin2 x lncosx 3
4y sin2 x 3x
5y ln x 1 x2 1 x2 arctgx
6y sin2 2x 2x 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
у |
|
|
х3 |
4x 4, |
|
х0 |
1, |
x 1,1 |
|||||||||||||||||||||
8 |
y x2 6x 8 2ex 2, |
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Вариант 10 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
1 |
y ex x3 ex 3x2 2 , y |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у 3ln ln x |
|
|
|
|
x |
||||||||||||
2 |
у sin3 x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
sin2 |
х |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|||||||||
3 |
у |
|
|
|
5 |
arctg |
|
|
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 ln5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
у х3 |
2x sinх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5 |
y |
|
lnx |
|
|
|
1 |
ln |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
y cos2 3x |
1 |
ln x 3 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
у |
|
|
5х2 4х 1, х0 |
5, |
x 5,11 |
|||||||||||||||||||||||
8 |
y 4x x2 2ex 1, |
x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11
1 |
y |
1 |
2x x4 ; |
y x2 lnx |
1 |
x2 |
|||
ln2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
у tg |
|
|
; |
у sin2 lnx |
||||
2 |
|
x |
3у sin lnx arcsin2 1 4x 4
4y x 2 lnx
5 y x |
1 |
ln 1 e |
x |
|
1 ex |
|
6y 3x 2 3x2
2x 1
7y e2x 4 3x 6, x0 2, x 1,96
8 |
y x 1 sin x 1 2x x2, |
x 1 |
|
|
0 |
Вариант 12
1 |
y ex sinx cosx , y |
ex x |
||||||||
ex x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
у |
1 |
tg3x; |
у |
|
3х 8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
х2 3х 4 |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
3у 3cos2 х sinх ln2 x
4y sinx cosx
5y x4 x2 arcsin x2
6 |
y ln 2x 3 |
3 |
|
|
e2x |
||
x 2 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
|
|
|
|||
у |
x3 2x 4, х0 |
2, x 2,11 |
|||||
8 |
y 6ex 1 3x x3, |
|
x 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
Вариант 13
1y sinx 1, y xln3 x 3xln2 x 6xlnx 6x sinx 1
2у ctg lnx ; у sin х2 2
3y 2ln2x2 1 sin3 x2 4
4 у х2 1 arctg x
5y ln tg x2 sinxx
6y sin2 x log3 2x 3
7 y 33x2 8x 16, x0 4, x 4,2
8 |
y 2x x2 x 1 ln 2 x , |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y ex arcsinx arccosx , |
|
Вариант 14 |
||||||||||||||
1 |
y xln2 x 2xlnx 2x |
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
у |
|
sin5 x; |
у |
ex2 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
у |
4tg2х log2 |
x 5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
у 1 х2 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
х |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
y |
2x sinx cosx ln2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
1 ln2 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
y 3x 5 3 |
4x 3 |
|
|
|
||||||||||||
4x 3 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y 5 |
|
|
|
|
||||||||||||
7 |
x4 |
10x 4, |
x0 2, x 1,99 |
||||||||||||||
8 |
y sin2 |
x 1 2x x2, |
x |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Вариант 15
1 y x2 1; y 1x3 lnx 1 x3 xlnx x |
||
x2 1 |
3 |
9 |
2у 13sin x3 ; у ln x x2 4 (последнюю производную упростить)
3y 2arcsinх x arccosх 4
4y cosx x2
5y 7x 3sin3x cos3x ln7
9 ln2 7
6 |
y ex x 2x2 x3 |
|
|
||
7 |
|
|
|
||
y 4 |
4x2 12, |
x0 1, |
x 1,11 |
|
|
8 |
y x2 4x cos2 x 2 , x |
2 |
|||
|
|
|
|
0 |
|
Вариант 16
1 |
y x ex 1 , y |
x3 lnx ln2 x |
|||
|
у cos x2 ; |
|
|
|
|
2 |
у sin |
x2 x |
3y 14 arcsin 1 9x2 ln3 sinx 4
4y cos2x x 3
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|||
5 |
y arctg |
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
y ln 3x 3 2 |
5x 2 |
|
|
|||||||
5x 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
x2 10x 8, |
x |
4, |
x 4,02 |
|||||||
|
y x2 2ln x 2 |
0 |
|
|
|||||||
8 |
, |
x 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Вариант 17
1 |
y |
2 |
x3/2 sinx, |
y |
2sinx 3cosx |
||||
|
2sinx 3cosx |
||||||||
|
3 |
|
|
|
|||||
2 |
у ln2 tgx ; |
у |
|
|
x 2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 4x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3y 15 2sinx x arcsin1 x 5
4y sinx tgx
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|||
5 |
y ln x |
|
1 |
|
|
|
||||
|
x2 1 |
|
||||||||
6 |
y sin2 x/2 ln sin x |
|
||||||||
7 |
у |
|
1 |
|
|
sin2 2x 6 , х |
3, x 2,99 |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
х2 7 |
|
||||||
8 |
y 4x x2 x 2 sin x 2 , |
x 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Вариант 18
1 |
y |
2 |
|
x5/2 cosx, |
|
|
y |
lnx 1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lnx 1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
у tg sinx ; |
у arcsin ln3 x |
||||||||||||||||||||||||
3 |
y |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
e |
4x 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
cos4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
y sin |
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
y |
1 |
x 2 |
|
|
|
ln |
|
1 |
|||||||||||||||||
x 1 |
x 1 |
|||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
y 4 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y 3 |
|
x2 |
2x 1, |
x |
2, x 2,22 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
y 6ex x3 3x2 6x 5, |
x 0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |