Решение
Проведем процесс ортогонализации Грама-Шмидта системы векторов базиса .
1) На первом шаге необходимо вычислить векторы . Вычисляем вектор
,
затем скалярное произведение и норму вектора
,
,
и окончательно вектор
, .
2) На втором шаге необходимо вычислить векторы . Сначала вычисляем скалярное произведение
,
затем вектор
.
Теперь нормируем вектор :
,
получаем вектор
, .
3) На третьем шаге необходимо вычислить векторы . Сначала вычисляем скалярные произведения
, ,
затем вектор
.
Теперь нормируем вектор :
,
получаем последний искомый вектор
, .
Итак, ортонормированный базис состоит из векторов:
, , .
Пример 7. Проверить ортогональность векторов , пространства и дополнить эти векторы до ортогонального базиса:
.
Решение. Решение задачи предусматривает нахождение двух векторов , таких, что система векторов , , , образует ортогональную систему векторов в пространстве , то есть при всех () (любые два разных вектора из системы ортогональны).
Проверим ортогональность векторов , . Для этого вычисляем скалярное произведение этих векторов:
.
Так как , то векторы , ортогональны.
Найдем вектор такой, что он ортогонален векторам , , то есть . В результате приходим к системе уравнений
Эту однородную систему решим методом Гаусса. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду (меняем местами строки матрицы)
.
Ранг матрицы . Принимая переменные за базисные, а за свободные (обозначаем при этом ), получим общее решение рассматриваемой ОСЛАУ
Итак, общее решение однородной системы имеет вид
Из множества решений выделим частное решение. Положим (для дальнейшего удобства) . Тогда получим . Итак, вектор имеет вид
.
Выполним проверку:
Найдем вектор такой, что он ортогонален векторам , , , то есть . В результате приходим к системе уравнений
Эту однородную систему решим методом Гаусса. Приводим матрицу системы к ступенчатому виду
Ранг ступенчатой матрицы . Принимая переменные за базисные, а - за свободную (обозначаем при этом ), получим общее решение рассматриваемой ОСЛАУ
Из множества решений выделим частное решение. Положим (для дальнейшего удобства) . Тогда получим . Итак, вектор имеет вид
.
Выполним проверку:
Ответ: ортогональный базис имеет вид
, , .