Типовой расчет по теме «Введение в математический анализ»
Методические указания
Содержание расчетных заданий
I.Нахождение пределов различными способами.
II.Нахождение производных сложных функций.
III. Нахождение производных с помощью предварительного
логарифмирования.
IV. Нахождение производных функций, заданных параметрически. V. Исследование функций и построение их графиков.
Образцы решения задач по теме «Пределы»
Пример 1. Найдите предел lim |
14x2 +19x −3 |
. |
|||
4x2 |
− |
9 |
|||
x→−3 / 2 |
|
||||
Решение. Числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль в точке x = – 3/2. Следовательно, в данном случае имеет место неопределенность типа 0/0. Для устранения неопределенности разложим
числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
lim |
14x2 +19x −3 |
= |
lim |
14(x −1/ 7)(x +3/ 2) |
= |
||||
4x2 |
− |
9 |
(2x + |
3)(2x −3) |
|||||
x→−3 / 2 |
|
x→−3 / 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
lim |
(7x −1)(2x +3) |
||
|
|
|
|
|
(2x +3)(2x −3) |
||||
|
|
|
|
|
|
x→−3 / 2 |
|||
Найдем предел непосредственной подстановкой:
lim |
7x −1 |
= |
7(−3 / 2) −1 |
= |
−23 / 2 |
|
2x −3 |
2(−3 / 2) −3 |
−6 |
||||
x→−3 / 2 |
|
|
Ответ: 23/12.
= |
lim |
7x −1 |
. |
|
|||
|
x→−3 / 2 |
2x −3 |
|
= |
23 . |
|
|
|
12 |
|
|
Пример 2. Найдите предел lim |
x2 −2x −3 |
. |
||
5x +1 − |
6x −2 |
|||
x→3 |
|
|||
Решение. Числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль в точке
x = 3. Следовательно, в данном случае имеет место неопределенность типа 0/0. Для ее устранения, во-первых, разложим на множители числитель, а вовторых, умножим числитель и знаменатель на сумму корней, стоящих в знаменателе:
lim |
x2 −2x −3 |
= lim |
|
(x +1)(x −3)( |
5x +1 + 6x −2 ) |
= |
||
5x +1 − 6x −2 |
( |
5x +1 − 6x − |
2 )( 5x +1 + |
6x −2 ) |
||||
x→3 |
x→3 |
|
||||||
26
= lim |
(x +1)(x −3)( |
|
5x +1 + |
6x −2 ) |
= lim |
(x +1)(x −3)( |
|
|
5x +1 + |
6x −2 ) |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
5x +1 |
−6x +2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
= xlim→3(−(x +1)( |
5x +1 + |
|
6x −2 ))= −(3 +1)(4 +4) = −32. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответ: – 32. |
|
|
|
|
|
|
8x3 |
+5x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 3. Найдите предел |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ x2 |
|
9x2 +11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Числитель дроби стремится к – ∞, а знаменатель – к + ∞, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
поэтому |
получается неопределенность |
|
типа |
|
|
∞ |
. |
Для |
устранения |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенности вынесем за скобку в числителе множитель x3, а в |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
подкоренном выражении знаменателя вынесем x2. |
|
|
|
x при x < 0 ( x → −∞): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Далее преобразуем дробь с учетом того, что |x| = – |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
8x3 |
+5x2 −1 |
= |
|
lim |
x3 |
(8 +5 / x −1/ x3 ) |
= |
|
lim |
|
x3 (8 +5 / x −1/ x3 ) |
= |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 (9 +11/ x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x→−∞ x2 |
9x2 |
+11 |
|
|
x→−∞ x2 |
|
|
x→−∞ |
|
x2 |
|
x |
|
9 +11/ x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
lim |
|
x3 (8 +5 / x −1/ x3 ) |
= |
lim |
|
− |
(8 +5 / x −1/ x3 ) |
= − |
8 |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
−x3 9 +11/ x2 |
|
|
|
|
9 +11/ x2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На последнем шаге принято во внимание, что функции 5/x, 1/x3, 11/x2 являются бесконечно малыми при x → −∞.
Ответ: – 8/3.
Пример 4. Найдите предел lim |
|
x |
2 |
+2x −3 |
− |
2x −3 |
|
|
|
. |
|||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. В данном случае имеется неопределенность типа ∞−∞. Для ее устранения умножим и разделим функцию на сумму корней:
lim |
|
x |
2 |
+2x |
−3 |
− |
2x −3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+2x −3 |
− 2x |
−3 |
|
x |
2 |
+2x −3 |
+ 2x −3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +2x −3 + |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→+∞ |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2x −3 |
x2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lim |
|
|
+2x −3 −2x +3 |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +2x −3 + |
|
|
||||||||
|
|
x→+∞ |
|
+2x −3 + |
|
2x −3 |
x→+∞ |
|
2x −3 |
|||||||||||||||
27
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
x→+∞ |
|
x |
|
1+2 / x −3/ x |
|
+ |
2 / x −3/ x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
x→+∞ |
|
1+2 / x − |
3/ x |
+ |
2 / x −3/ x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
= +∞. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+2 / x −3/ x2 + 2 / x −3/ x2 |
|
||||||||||||
Ответ: +∞. |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. Найдите предел |
lim |
|
|
|
(5 x −1)arcsin (x2 x ) |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 5 1+tg2 x log5 (1+(2sin x)2 ) |
|
|
||||||||||||
Решение. Непосредственная замена аргумента функции числом x = 0 дает неопределенность типа 0/0. Чтобы избавиться от этой неопределенности, построим цепочку эквивалентных бесконечно малых (см.
приложение) для каждого множителя в числителе и знаменателе дроби: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
x −1 ~ x ln 5 ; arcsin (x2 |
x ) |
|
|
~ x2 |
x ; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1 tg2 |
|
|
|
1 |
( |
|
|
x→0 |
1 x ; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
5 1+tg2 x ~ |
x ~ |
x )2 = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
5 |
|
|
x→0 5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
log |
5 |
1+(2sin x)2 |
~ |
(2sin x)2 |
|
~ |
4x2 . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
)x→0 |
|
|
ln 5 |
|
x→0 ln 5 |
|
|
|
|
|
|||||||
Используя принцип замены бесконечно малых множителей под знаком |
||||||||||||||||||||||||
предела эквивалентными, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
(5 |
x −1)arcsin (x2 |
x ) |
|
|
= |
lim |
|
|
|
x ln 5 x2 x |
= |
||||||||||
5 |
|
|
2 |
|
x log5 (1+(2sin x) |
2 |
) |
|
|
|
|
x |
4x2 |
|
||||||||||
x→0+0 |
1 |
+ tg |
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
5x3 ln2 5 |
= |
5ln2 |
5 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
|
|
4 |
|
||||||||
|
|
5ln2 5 |
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
|
π |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Найдите предел lim |
|
2 |
−8πx+π |
2 |
. |
|
|
||||||||
cos x − |
4 |
16x |
|
|
|
|
|||||||||
x→π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Введем обозначение: |
|
|
|
2 |
−8πx+π |
2 |
. С |
||||||||
|
f (x) = cos x − |
4 |
|
16x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
помощью непосредственной подстановки в данную функцию числа x =π / 4,
получим неопределенность |
типа 1∞. Прологарифмируем эту |
функцию: |
||
ln f (x) = |
8ln (cos(x −π / 4)) |
. |
Последнее выражение в точке |
x =π / 4 |
|
||||
|
16x2 −8πx +π2 |
|
|
|
представляет собой неопределенность типа 0/0. Для устранения этой
неопределенности найдем |
lim |
ln f (x) с помощью правила Лопиталя: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
ln f (x) = |
lim |
8ln cos(x −π / 4) = |
lim |
(8ln cos(x −π / 4))′ |
= |
|
|
||||||||||||||||
x→π / 4 |
|
|
|
|
|
x→π / 4 16x2 −8πx +π2 |
|
x→π / 4 (16x2 −8πx +π2 )′ |
|
|
|
|
||||||||||||
= |
lim |
|
|
8 |
(−sin(x −π / 4)) |
|
= |
lim −tg(x −π / 4) = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(32x −8π) cos(x −π / 4) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→π / 4 |
|
x→π |
/ 4 |
4x −π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
−tg (x −π / 4) = |
lim |
|
|
= −1 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→π / 4 |
|
(4x −π)′ |
|
x→π |
/ 4 4cos2 (x −π / 4) |
|
4 |
|
|
|||||||||
Таким образом, получили |
lim |
ln f (x) = −1 . |
В силу непрерывности |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
логарифмической |
функции |
|
отсюда |
следует, |
что |
f (x) |
= − |
. |
||||||||||||||||
|
ln lim |
|
4 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, |
lim |
|
f (x) = e−4 = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→π / 4 |
|
|
|
4 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln f (x) |
|||||||
Замечания. 1) В |
примере |
6 при |
нахождении |
предела |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 4 |
|
|
|
|||
правило Лопиталя было применено дважды. Однако в примерах такого типа можно комбинировать правило Лопиталя с принципом замены бесконечно малых множителей под знаком предела эквивалентными.
2)Аналогичным образом можно раскрывать неопределенности типов 00
и∞0 .
29