Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовые расчеты.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

1.14 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

О.И. Судавная, С.В. Фролов

Типовые расчеты по высшей математике

Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения

I семестр

Санкт-Петербург

2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

О.И. Судавная, С.В. Фролов

ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения

I семестр Методическое пособие

Санкт-Петербург

2009

О.И. Судавная, С.В. Фролов Типовые расчеты по высшей математике. Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения. I семестр. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – 46 с.

Пособие содержит типовые расчеты с методическими указаниями по темам

•линейная алгебра

•векторная алгебра

•аналитическая геометрия

•пределы

•производные

•исследование функций

Пособие адресовано студентам первого курса вечернего отделения СПбГУ ИТМО

Рекомендовано к печати Ученым Советом естественнонаучного факультета СПбГУ ИТМО 29 сентября 2009 года, протокол № 2.

В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики.

©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2009

Введение

Типовые расчеты по математике для студентов первого курса вечернего отделения в первом семестре содержат 2 типовых расчета по темам

•«Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

•«Введение в математический анализ»

Каждый из типовых расчетов включает 26 вариантов по пяти различным разделам. Перед заданиями помещены методические указания, основные теоретические формулы и разобранные решения наиболее типичных задач.

Рекомендуемые пособия:

1.Брылевская Л.И., Лапин И.А., Ратафьева Л.С. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008.

2.Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Фролов В.М. Математический анализ I. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2008.

Типовой расчет по теме «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

Методические указания

Содержание расчетных заданий

I.Исследование системы линейных уравнений методом Гаусса.

II.1) Составление системы линейных уравнений.

2)Решение системы методом Крамера.

3)Решение системы матричным методом. III. Уравнения прямой и плоскости в пространстве.

IV. Уравнения кривых второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка в пространстве.

Образцы решения задач по теме «Системы линейных уравнений»

Пример 1. С помощью метода Гаусса найдите решения системы

	x			−2x	=9
	1		+x3	4	=3
	2x1 −x2		+x3	+x4	=3	, или докажите ее несовместность.
	x	+2x	−x	+x	= 0	, или докажите ее несовместность.
	1	2	3	4
2x		−3x	+2x	−2x	=12
	1	2	3	4

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:


	1	0	0 −2 9	1		0	0 −2 9
	2 −1 1 1 3				0 −1 1			5 −15
A =	2 −1 1 1 3			→	0 −1 1			5 −15	→
	1	2	−1 1 0		0 2		−1 3 −9
	1	2	−1 1 0		0 2		−1 3 −9
	2 −3 2 −2 12				0	−3 2		2 −6


	1 0 0 −2	9		1	0	0 −2 9
	0 −1 1 5	−15		0 −1 1			5	−15
→	0 −1 1 5	−15	→	0 −1 1			5	−15	.
	0 0 1 13 −39			0 0		1 13 −39
	0 0 1 13 −39			0 0		1 13 −39
	0 0 −1 −13 39			0	0 0		0	0

На первом шаге ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на (– 2), к третьей строке прибавлена первая строка, умноженная на (– 1), к четвертой строке прибавлена первая строка, умноженная на (– 2). На втором шаге к третьей строке прибавлена вторая строка, умноженная на 2, к четвертой строке прибавлена вторая строка, умноженная на (– 3). На третьем шаге к четвертой строке прибавлена третья строка.

Восстановим систему:

x		−2x	=9
	1	4	= −15 .
	−x2	+x3 +5x4	= −15 .
		x3 +13x4	= −39
		x3 +13x4	= −39
Придадим переменной x4 произвольное значение				x4 =c, c R . Тогда
x3 = −13c −39,		x2 = −8c −24 , x1 = 2c +9 . Таким		образом получили

бесконечное множество решений системы, зависящее от произвольного параметра c:

x1x2x3x4

=2c +9

=−8c −24 , c R .

=−13c −39

Матричная форма записи полученного множества решений имеет вид:

	2		9
	−8		−24
X = c	−8	+	−24	, c R .
	−13		−39
	−13		−39
	1		0

Матрица, стоящая в первом слагаемом, представляет собой общее решение однородной системы, соответствующей исходной, а матрица во втором слагаемом – частное решение исходной неоднородной системы.

−8

−24

Ответ: X = c

, c R .

−39

−13

Пример 2. . С помощью

метода Гаусса

найдите

решения

системы

x +5x −4x = −5

2x1 −3x2 + x3 = 2 , или докажите ее несовместность.

+ x

−3x = −4

Решение.

1 5 −4 −5

1 5 −4 −5 1 5

−4

−5

2 −3 1 2

−13 9 12

0 −13

A =

→

4 1

−3

−4

−19 13 16

0 0

−2 13

−20 13

На первом шаге из второй строки вычтена ее первая строка, умноженная на 2, а из третьей строки вычтена первая строка, умноженная на 4. На втором шаге к третьей строке прибавлена вторая строка, умноженная на – 19/13.

Восстановим систему:

x +5x −4x = −5
	1	2	3
		−13x2 +9x3		=12 .

−132 x3 = −1320

Из последнего уравнения следует, что x3 = 10, тогда из второго уравнения получим –13x2 = – 78, откуда x2 = 6. Найдем x1 из первого уравнения: x1 = – 5 + 40 – 30 = 5. В результате получим

	x	=5		5			5
	1			6			6
x2 =6 X =				6	.	Ответ: X =	6
x		=10	10			10
	3

Пример 3. С помощью метода Гаусса найдите решения системы

x +2x		+3x = 4
1	2	3
2x1 + x2 − x3 =3 , или докажите ее несовместность.

3x1 +3x2 +2x3 =10

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы:

1 2 3				4	1 2 3 4				1 2			3	4
	2	1	−1 3			0	−3	−7 −5		0	−3 −7 −5
A =					→				→					.
	3	3	2	10		0	−3	−7 −2		0	0	0	3

На первом шаге из второй строки вычтена первая строка, умноженная на 2, а из третьей строки вычтена первая строка, умноженная на 3. На втором шаге из третьей строки вычтена вторая строка.

Восстановив по третьей строке матрицы третье уравнение, получим 0 x3 =3, откуда следует, что уравнение, а значит, и система несовместны.

Ответ: система несовместна.

Образцы решения задач по теме «Векторная алгебра»

Пример 4. Вектор d ={x, y, z} удовлетворяет следующим условиям:

а) скалярное произведение вектора d на вектор a ={2,3, −4} равно – 4,

б) проекция вектора d на вектор b ={1, 2, −2} равна – 1,

в) вектор d ортогонален вектору c ={1, −1,0}.

1)Составьте систему линейных уравнений, связывающих координаты x, y, z вектора d .

2)Найдите координаты x, y, z вектора d двумя способами: по теореме Крамера и с помощью обратной матрицы.

3)На векторах a, b, c построена треугольная пирамида. Найдите ее высоту, опущенную на грань, проходящую через векторы a иb .

Решение. 1) Запишем условия, которым удовлетворяет вектор d , в координатной форме:

а) d a = −4 2x +3y −4z = −4;

б) пр d = −1 x +2 y −2z = −1 x +2 y −2z = −3;

b	3

в) d c d c =0 x − y =0.

Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными: 6

2x +3y −4z = −4

+2 y −2z = −3 .

−y

= 0

2) Решим систему с помощью теоремы Крамера. Для этого найдем

−4

−2

определитель матрицы A =

системы:

−1

D =

−4

=1 A31 −1 A32 +0 A33 =

1 2 −2

−1

=1 (−1)3+1

3 −4

−1 (−1)3+2

2 −4

=(– 6 + 8) + (– 4 + 4) = 2.

2 −2

−2

При вычислении определителя была применена теорема разложения по элементам третьей строки.

Таким образом,

D = 2 ≠ 0 ,

следовательно, система имеет единственное

решение x =

D1 , y =

, z =

. Найдем определители D1, D2, D3.

D =

−4

= 0 A −1 A +0 A = −1 (−1)5

−4 −4

−3 2 −2

=8 −12 = −4

−3

−2

−1

D =

−4

=1 A +0 A +0 A =

−4 −4

1 −3 −2

=8 −12 = −4

−3 −2

D3 =

−4

=1 A31 −1 A32 +0 A33 =

1 2 −3

−1

3 −4

2 −4

= (−9 +8) +(−6 +4) = −3

2 −3

−3

Координаты вектора d равны

x =

D1 =

−4 = −2, y

= −4 = −2 , z =

−3 = −1,5 .

Решим ту же систему с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему в матричной форме: AX = B, где А – матрица системы, X – столбец, составленный из неизвестных, B – столбец, составленный из свободных членов. Умножив матричное уравнение слева на матрицу А–1 ,

получим матричную форму решения системы X = А–1 B. Поскольку определитель матрицы А отличен от нуля ( D = 2 ≠ 0 ), обратная матрица А–1 существует.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы системы:

									A11 = −2;				A12 = −2;			A13 = −3;
									A21 = 4;				A22 = 4;			A23 =5;
									A31 = 2;				A32 = 0;			A33 =1.
												−2		−2	−3
Составим из них матрицу												4		4	5		Транспонируем полученную
Составим из них матрицу										B =		4		4	5	.	Транспонируем полученную
												2		0	1
												2		0	1
							−2		4	2
матрицу: C =				B	T				4	0
матрицу: C =				B		= −2			4	0	.
								−3	5	1
								−3	5	1									1		1
Для получения обратной матрицы, умножим матрицу С на число																			1	=	1	:
Для получения обратной матрицы, умножим матрицу С на число																			D( A)	=	2	:
																			D( A)		2
			1				1	−2 4 2						−1		2	1
A	−1		1	C =			1
		=							−2 4 0				=	−1		2	0	.
		=	D( A)				2		−2 4 0				=	−1		2	0	.
			D( A)				2		−3 5 1					−1,5 2,5 0,5
									−3 5 1					−1,5 2,5 0,5

Проверка подтверждает правильность вычислений:
		2 3			−4	1	−2		4	2
A A	−1		1	2	−2			−2	4	0	=
		=				2
			1	−1 0				−3 5		1

	1	−4 −6 +12			0		0				1		2	0	0		1 0 0
=	1		0		4 +8 −10		0			=	1		0	2	0			0 1 0
=	2		0		4 +8 −10		0			=	2		0	2	0	=		0 1 0		.
	2		0		0		2 +0 +0				2		0	0	2			0 0 1
			0		0		2 +0 +0						0	0	2			0 0 1
Найдем теперь столбец X:
					−1	2	1	−4					4 −6				−2
			–1		−1	2	0	−3					4 −6				−2
			X = А	B =	−1	2	0	−3			=		4 −6		=		−2		.
					−1,5	2,5	0,5		0								−1,5
					−1,5	2,5	0,5		0			6 −7,5					−1,5

Таким образом, x = – 2, y = – 2, z = – 1,5. Вектор d равен d ={−2, −2, −1,5}. 3) Для нахождения высоты h треугольной пирамиды, построенной на

векторах a, b, c , воспользуемся формулой V = 13 hS , где V – объем, S –

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.2016117.25 Кб34типовик 7 модуль.doc
#
14.04.20151.22 Mб171Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616.17 Mб21Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
21.03.201648.03 Mб117Типовик_мат_6модуль.pdf
#
14.04.2015988.75 Кб17ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151.14 Mб21Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016843.71 Кб7типовые расчеты.pdf
#
20.03.201634.92 Кб57ТЛТ.docx
#
14.04.201565.07 Кб11ТО_Л-1.docx
#
01.08.201947.62 Кб3товарные потери 37 вопрос.doc
#
09.09.201966.77 Кб7Топливно-энергетический комплекс.docx