Теоретические основы квантовых приборов
.pdfМИНОБРНАУКИ РОССИИ
–––––––––––––––––––––––––––––––––
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
М. Н. БУРНАШЕВ, В. Ю. ВЕНЕДИКТОВ, Ю. В. ФИЛАТОВ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВЫХ ПРИБОРОВ
Электронное учебное пособие
Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2012
УДК 621.373.8(07) ББК 3 86-53я7
Б 91
Бурнашев М. Н., Венедиктов В. Ю., Филатов Ю.В.
Б 91 Теоретические основы квантовых приборов: Электронное учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. 80 с.
ISBN 978-5-7629-1321-8
Содержит основные сведения о принципах работы лазеров и их различных разновидностей.
Предназначено для подготовки бакалавров по направлению «Приборостроение» по профилю «Лазерные измерительные и навигационные системы». Может быть полезно также инженерно-техническим работникам этой области знаний.
УДК 621.373.8(07) ББК 3 86-53я7
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве электронного учебного пособия
ISBN 978-5-7629-1321-8 |
© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012 |
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предметом курса «Теоретические основы квантовой электроники» является изучение основных понятий квантовой электроники, принципа действия и свойств различных типов линейных и кольцевых лазеров и применения кольцевых лазеров в автономных системах инерциальной навигации в качестве лазерного гироскопа. В настоящем пособии изложены основные сведения, необходимые при освоении первой части курса, относящиеся к общим принципам построения лазеров.
Квантовая электроника занимает одно из ведущих мест в современной науке и технике. Это наука, изучающая принципы и методы генерации и усиления электромагнитных волн путем индуцированного излучения квантовых систем (молекул, атомов, ионов). Исследования и разработки в этой области привели к созданию мазеров и лазеров, с помощью которых было решено множество научных и практических задач, в частности в навигации, измерительной технике и метрологии. Соединение в приборах квантовой электроники таких уникальных характеристик, как высокая когерентность и монохроматичность излучения, высокая стабильность и воспроизводимость длины волны, возможность концентрации очень большой энергии на исключительно малых площадях, позволило произвести переворот в технологии обработки материалов, в оптике, технике записи и передачи информации и в измерительной технике. Спектр излучения лазеров (термин является аббревиатурой слов «Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation» – усиление све-
та посредством вынужденного излучения) покрывает расширенный оптический диапазон (от инфракрасных до ультрафиолетовых волн), а излучение мазеров (происходит от «Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation» – усиление микроволнового излучения посредством вынужденного излучения) находится в радиочастотном диапазоне.
Основополагающим открытием в развитии квантовой электроники явилось предсказанное в 1916 г. А. Эйнштейном явление вынужденного излучения. Им был, в частности, постулирован вывод о когерентности фотона вынужденного излучения исходному фотону, которая понималась как совпадение их импульсов и энергий.
Важным шагом в квантовой электронике явилась строгая теория излучения, в которой электромагнитное поле и вещество рассматривались с точки зрения квантовой механики, созданной П. Дираком в 1927–1930 гг. В рамках
3
этой теории удалось строго обосновать соотношения Эйнштейна между коэффициентами спонтанного излучения, вынужденного излучения и поглощения, а также связать их значения с матричным элементом дипольного момента квантовой системы, т. е. со свойствами самого вещества.
В 1928 г. немецким физиком Р. Ладенбургом было открыто явление отрицательной дисперсии, связанное с отрицательным поглощением. Им была впервые установлена связь отрицательного поглощения с инверсией населенностей рассматриваемых уровней и было сформулировано условие ее получения. В 1939 г. в докторской диссертации советского физика В. А. Фабриканта была разработана идея усиления интенсивности света в среде, в которой выполнено условие инверсии населенностей.
Следующий этап развития квантовой электроники наступил в 1950-е гг. В 1950 г. американскими физиками Е. Парселлом и Р. Паундом впервые было получено индуцированное излучение. В 1953–1954 гг. Н. Г. Басов и А. М. Прохоров (СССР) и, независимо от них, Ч. Таунс (США) получили генерацию в сантиметровом диапазоне на молекулах аммиака. Так был создан первый квантовый генератор – мазер. В 1955 г. Басов и Прохоров предложили трехуровневый метод получения инверсной населенности молекулярных уровней. Действующие трехуровневые твердотельные квантовые усилители были созданы в 1957–1958 гг. в США и СССР. Позднее за эти работы Басов, Прохоров и Таунс получили Нобелевскую премию.
Дальнейшее развитие квантовой электроники было направлено на переход в оптический диапазон. В 1958 г. А. М. Прохоровым и Р. Дике (США) была предложена идея использования открытого резонатора. Первый лазер создан Т. Мейманом (США) в 1960 г. с использованием резонатора открытого типа и кристалла искусственного рубина в качестве рабочего тела (длина волны излучения составляла 0.7 мкм). Через полгода А. Джаваном, В. Беннетом и Д. Эрриотом (США) сконструирован первый газовый лазер на смеси газов гелия и неона. В 1962 г. были созданы первые полупроводниковые лазеры на основе арсенида галлия, в которых был использован предложенный в 1961 г. Н. Г. Басовым, О. Н. Крохиным и Ю. М. Поповым метод образования инверсии населенностей инжекцией электронов и дырок через p-n-переход. Созданные Ж. И. Алферовым с коллегами полупроводниковые лазеры на гетеропереходах явились еще одним важнейшим шагом, за что Алферов был также удостоен Нобелевской премии по физике.
4
1. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРА
1.1.Взаимодействие электромагнитного поля с веществом
Воснове работы лазера лежат три фундаментальных явления, происходящих при взаимодействии электромагнитных волн с веществом: процессы спонтанного и вынужденного излучения и вынужденного поглощения. В этих явлениях равноправно участвует электромагнитное поле, которое может описываться как классически (по теории Максвелла), так и с помощью квантовой электродинамики, и вещество, которое должно описываться в терминах квантовой механики, поскольку дискретная структура его энергетических уровней носит здесь фундаментальный характер.
В1905 г. А. Эйнштейн опубликовал научную работу, посвященную явлению фотоэффекта. В ней он доказал квантовый характер порций энергии электромагнитного поля при поглощении его веществом с сопутствующим выбиванием электрона с поверхности тела. Таким образом он ввел понятие
фотона – |
частицы с энергией |
E = ω = hν (где = h / 2π ; h – постоянная |
Планка; |
ν – циклическая, а ω – |
круговая частоты электромагнитного поля) и |
импульсом p = k , k = ω / c , где k – волновой вектор; с – скорость света в
вакууме. Эта работа явилась одним из толчков к созданию квантовой механики. В настоящее время квантовая механика рассматривает вещество и поле как объекты, обладающие и корпускулярными, и волновыми свойствами одновременно. Это свойство материи называется корпускулярно-волновым дуализмом. Особенно сильно оно проявляется для микрообъектов, обладающих малыми массой и энергией (таких, как электроны, атомы и молекулы) и для взаимодействующих с ними полей. В ряде случаев удобно рассматривать электромагнитное поле с корпускулярной точки зрения – как поток фотонов, особенно при анализе энергетических характеристик поля. При анализе оптических явлений, таких как интерференция, дифракция и др., при которых проявляются волновые свойства электромагнитного поля, поле удобнее представлять в виде совокупности плоских или сферических волн.
Рассматривая вопрос о статистике электромагнитного излучения, Эйнштейн попытался доказать формулу М. Планка для распределения плотности энергии излучения абсолютно черного тела:
5
ρ(ω,T ) = |
2 ω3 |
1 |
|
, |
(1) |
||
c3 |
|
|
ω |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e k BT |
− 1 |
|
|||
|
|
|
|
где ω – круговая частота электромагнитного поля; T − абсолютная температура; k B – постоянная Больцмана (обозначение k B использовано для того, чтобы отличать эту величину от волнового числа k). Из классической теории излучения электромагнитного поля следовала формула Релея– Джинса
ρ(ν ,T ) = 2kBTω 2 , πc3
интегрирование которой по частотам давало бесконечно большое значение энергии электромагнитного поля (так называемая ультрафиолетовая катастрофа). Для устранения этого несоответствия Эйнштейну пришлось ввести три статистических постулата об элементарных процессах излучения и поглощения, исходя из корпускулярных представлений о природе света.
Будем считать, что вещество описывается разрешенными состояниями (уровнями), в которых оно может находиться, со значениями энергии En , n = = 1, 2,…, т. е. рассмотрим так называемую квантовую систему.
Постулат 1. В отсутствие внешнего электромагнитного поля существует определенная вероятность самопроизвольного перехода квантовой системы с более высокого уровня на более низкий. Она называется вероятностью спонтанного перехода Amn , m > n . Это явление носит статистический характер: для ансамбля одинаковых квантовых систем число переходов за единицу времени в единице объема вещества составляет Amn N m , где N m – число квантовых систем на уровне m в единице объема. Величина N m называется населенностью уровня m. При этом не определено, произойдет ли переход в заданной конкретной системе или нет. Будем для определенности рассматривать процессы (рис.1, а) в двухуровневой квантовой системе (m = 2, n = 1).
Скорость изменения населенности уровня 2 составляет
dN 2 dt = − A21N 2 . |
(2) |
При каждом переходе испускается квант с энергией ω = E2 − E1. Величину |
|
τ21 = 1 A21 |
(3) |
называют временем жизни уровня 2 по отношению к спонтанному излучению на уровень
6
E2 |
E2 |
E2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
ω = E2 |
− E1 |
|
|
|
|
|
ω |
ω |
ω |
|
|
E1 |
E1 |
E1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
а |
|
б |
в |
Рис. 1.
В случае, когда рассматривается многоуровневая система, определим полную вероятность спонтанного испускания фотона при переходе на любой из нижележащих уровней согласно закону сложения вероятностей
Am = ∑ Amn , n
где суммирование ведется по всем уровням, лежащим ниже уровня m, и вместо (3) получим полное время жизни верхнего уровня
τ |
m |
= (A )−1 . |
(4) |
|
m |
|
Эта величина называется естественным временем жизни уровня. Решение уравнения (2)
N |
2 |
(t ) = N |
0 exp(− t /τ |
2 |
) |
(5) |
|
|
2 |
|
|
показывает, что зависимость населенности верхнего уровня от времени соответствует экспоненциальному закону радиоактивного распада. Направления, в которых излучаются фотоны, равномерно распределены во всем пространстве, а моменты переходов случайно распределены по времени. Такое излучение является полностью некогерентным.
Постулат 2. Пусть квантовая система находится на верхнем уровне и на нее воздействует резонансное внешнее электромагнитное поле с частотой ω = (E2 − E1 )/ . Имеется конечная вероятность перехода системы с уровня 2 на уровень 1 с излучением дополнительного фотона с энергией ω = E2 − E1 (рис. 1, б). Вероятность перехода системы в единицу времени равна B21ρ(ω), она пропорциональна плотности энергии внешнего электромагнитного поля
7
ρ(ω) и так называемому коэффициенту вынужденного (индуцированного) излучения B21 .
Для ансамбля одинаковых квантовых систем число индуцированных переходов в единице объема в единицу времени равно B21ρ(ω)N 2 , а скорость изменения населенности N 2 уровня 2 составит
dN 2 dt = −B21ρ(ω)N 2 . |
(6) |
В результате излучается фотон, характеристики которого – |
энергия, импульс |
(в том числе направление распространения) и состояние поляризации – полностью совпадают с характеристиками фотона внешнего поля. Если рассматривать поток с большим числом фотонов, то фаза электромагнитной волны в потоке индуцированного излучения совпадает с фазой поля падающего излучения. Таким образом, индуцированное излучение полностью когерентно падающему.
Объединив два первых эффекта, можно найти полную вероятность испускания фотона квантовой системой: W21 = A21 + B21ρ(ω), а из (2) и (6) – полную скорость изменения населенности N 2 :
dN 2 dt = −[A21 + B21ρ(ω)]N 2 . |
(7) |
Постулат 3. Пусть система находится на нижнем |
энергетическом |
уровне 1 и на нее падает излучение с частотой ω = (E2 − E1 ) , резонансное данному переходу. Тогда существует конечная вероятность B12 поглощения
падающего фотона, при этом |
система |
переходит на верхний уровень 2 |
|
(рис. 1, в). Скорость переходов определяется выражением |
|
||
|
dN1 dt = −B12ρ(ω)N1. |
(8) |
|
Вероятность поглощения |
фотона |
W12 = B12ρ(ω) |
пропорциональна |
плотности электромагнитного поля и коэффициенту поглощения B12 . Уравнения типа (7) и (8) называются скоростными уравнениями, т. е. уравнениями для скоростей процессов. Они принципиально не могут учитывать фазовых соотношений, характерных для волновых полей.
Применение принципа детального равновесия для установившегося процесса взаимодействия электромагнитного поля с веществом дает следующее соотношение между коэффициентами вынужденного излучения и поглощения:
B12 = B21 . |
(9) |
8
Если рассматриваемые уровни кратные, т. е. наблюдается вырождение с факторами g1 и g2, это соотношение принимает вид
g1B12 = g2B21. |
(10) |
Из справедливости закона распределения излучения Планка с необходимостью следует соотношение между коэффициентами спонтанного и вынужденного излучений
A |
= |
2 ω3 |
B . |
(11) |
|
||||
21 |
|
πc3 |
21 |
|
|
|
|
|
В строгой теории квантовой электродинамики коэффициент спонтанного излучения вычисляется через параметры, определяемые свойствами квантовой системы (молекулы или атома):
A |
= |
4ω3 |
|
r |
|
2 , |
(12) |
||
|
|
||||||||
|
3 |
||||||||
21 |
|
3 c |
|
21 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где r21 – матричный элемент дипольного момента квантовой системы, |
вы- |
числяемый в квантовой механике с помощью волновых функций. Выражение (12) показывает, что при переходе из радиодиапазона в оптический и далее в рентгеновский резко возрастает интенсивность спонтанного излучения (как куб частоты излучения), обычно проявляющегося в виде примеси шума к монохроматическому лазерному излучению. Выражения (9) – (12) полностью определяют значения коэффициентов Эйнштейна. В результате введения в
статистическую теорию этих эффектов закон распределения энергии электромагнитного поля соответствует формуле Планка (1), определяющей квантовую статистику электромагнитного поля. Существование индуцированного излучения и его свойства и определили возможность создания лазеров.
1.2. Усиление света в среде
Рассмотрим процесс усиления или поглощения света в среде, состоящей из двухуровневых квантовых систем. Пусть на среду в направлении оси z падает поле в виде плоской электромагнитной волны с энергией, проходящей через единицу площади в единицу времени (интенсивностью электромагнитного поля) I 0 (рис. 2). Предположим, что поперечное сечение активной среды равно единице площади. Выделим тонкий слой толщиной dz, в котором интенсивность света можно считать постоянной.
9
Для анализа энергетических характеристик потока излучения введем плотность потока фотонов F. Эта величина равна числу фотонов в равномерном потоке излучения, падающего на единицу площади сечения, перпендикулярного направлению распространения, в единицу времени. Она связана с интенсивностью I поля электромагнитной волны как I = ωF . Тогда вероятность вынужденного излучения будет пропорциональна величине F:
W21 = B21ρ(ω) = σF ,
где коэффициент пропорциональности σ имеет размерность площади и носит название сечения вынужденно-
|
|
|
|
S=1 |
го излучения |
(поглощения) |
|||||
|
F0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
F(z) |
|
|
данной квантовой системы. |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
В |
единице |
объеме |
слоя |
|
|
|
|
|
|
|
среды |
произойдут вынужден- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ное излучение W21N 2 и погло- |
||||
0 |
z z+dz |
||||||||||
щение W12 N1 фотонов. |
При- |
||||||||||
|
|
|
|
Рис. 2 |
|||||||
|
|
|
|
ращение плотности потока фо- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тонов после прохождения слоя толщиной dz составит |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dF (z) = [W21N2 (z)− W12 N1(z)]dz = σF [N2 (z) − N1(z)]dz. |
(13) |
||||||
Предположим в первом приближении, что |
N 2 − N1 |
не зависит от z. |
Тогда |
||||||||
решение уравнения (13) дает известный нам закон Бугера |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
F (z) = F0 exp[σ(N 2 − N1 )]z = F0 exp gz, |
|
(14) |
|||||
причем при g > 0 наблюдается усиление, а при g < 0 – |
поглощение излучения. |
||||||||||
Величина |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
g = σ(N 2 − N1 ) |
|
|
(15) |
называется линейным коэффициентом усиления (поглощения) среды. Если среда усиливает излучение, ее обычно называют активной. Очевидно, что наличие усиления или поглощения в среде определяется знаком разности населенностей уровней N 2 − N1 .
Рассмотрим состояние среды при термодинамическом равновесии. В этом случае заселение уровней определяется статистикой Больцмана
N n = N 0 exp (− En kBT ).
При этом всегда N 2 − N1 < 0 и среда оказывается поглощающей. Получить состояние N 2 − N1 > 0 можно только в неравновесной системе, такое состояние называется инверсией населенностей.
10