Теоретические основы квантовых приборов

Экспоненциальная зависимость усиления (поглощения) (14) справедлива только в приближении достаточно малой интенсивности поля. Рассмотрим скоростные уравнения (7) и (8) для стационарного режима, т. е. примем, что dN2 dt = dN1 dt = 0 , и будем увеличивать длину среды. При этом будет увеличиваться интенсивность (и, соответственно, плотность потока) излучения. Поскольку коэффициенты Эйнштейна B21 и B12 равны, согласно (9), друг другу, а вероятность спонтанного излучения не зависит от плотности энергии электромагнитного поля, при некотором значении интенсивности I = I s населенности почти сравняются, N 2 (z) ≈ N1(z) и среда перестает поглощать либо усиливать свет. Такое состояние называется состоянием просветления среды, поскольку монохроматическое электромагнитное поле с частотой, равной резонансной частоте перехода, проходит через нее без изменения. Значение интенсивности I s называется параметром насыщения среды. Физически явление насыщения исследовалось в экспериментах А. Судзуки и др. при увеличении длины среды до 3 м. Для He-Ne усиливающей (активной)

среды были получены значения I s » (1 - 4)×105 Вт/м2. Точное решение уравнения (13) выглядит следующим образом:

11

называется полным коэффициентом усиления активной среды. В случае слабого электромагнитного поля, когда N 2 − N1 не зависит от z, полный коэффициент усиления, согласно (16), пропорционален длине l активной среды:

1.3. Принцип действия лазера

Перейдем теперь от квантового усилителя к квантовому генератору. Обобщенная функциональная схема лазера представлена на рис. 4. Из курса радиотехники известно, для того чтобы усилитель превратить в генератор, необходимо его выходной сигнал подать на вход с помощью цепи положительной обратной связи. В оптическом диапазоне эту функцию выполняет открытый оптический резонатор, который в простейшем случае можно представить в виде двух зеркал, между которыми помещается активная среда. Такой резонатор называется двухзеркальным резонатором стоячей волны.

Как и в любом резонаторе, в оптическом резонаторе обеспечивается накопление энергии за счет многократного прохож-

дения электромагнитного поля

вдоль оптической оси резонатора в прямом и обратном направлениях между зеркалами. Коэффициент отражения зеркал обычно выбирается высоким для того, чтобы обеспечить малые

потери и высокую добротность резонатора. Вывод излучения осуществляется за счет конечного пропускания зеркал или через специальные отверстия в них. Такие резонаторы, называемые интерферометрами (или эталонами) Фабри– Перо, использовались в спектроскопии задолго да открытия лазеров.

В генераторе необходимо обеспечить непрерывный подвод энергии из внешнего источника для компенсации всех видов потерь – так называемую накачку активной среды, которая обеспечивает перевод активных атомов с нижнего на верхний уровень для формирования инверсии населенностей.

Рассмотрим прохождение электромагнитной волны внутри резонатора лазера (рис. 5) в режиме генерации излучения. Будем считать, что от левого

12

Применим первое условие самосогласования. Для этого полученное значение плотности потока фотонов приравняем к исходной величине F0 :

Сократим F0 и учтем, что в большинстве лазеров, в частности в газовых лазерах, усиление и потери достаточно малы: 2μd , T1, T2 , 2gl << 1. Тогда, разложив (20) в ряд с точностью до членов первого порядка малости, получим

означающему, что в режиме генерации всегда выполняется условие равенства полного усиления активной среды полным потерям в резонаторе, отнесенным к одному проходу излучения в резонаторе.

Расчет проделан для случая достаточно малого электромагнитного поля, когда, согласно (18), усиление активной среды G = σ (N 2 − N1 )l , но результат (22) полностью справедлив и для случая, когда среда насыщается; при этом полное усиление определяется выражением (21). В случае, когда потери в резонаторе большие, найденная из соотношения (20) величина потерь на один проход излучения составляет μ = μd − [ln(1 − T1 ) + ln(1 − T2 )]/ 2 .

Применим второе условие самосогласования поля и будем рассматривать электромагнитное поле внутри резонатора в приближении так называемого продольного типа колебаний, когда поле описывается суперпозицией двух плоских бегущих электромагнитных волн, каждую из которых можно

зы на 2π соответствует пройденное расстояние, равное длине волны λq . За-

пишем полное изменение фазы ϕ в виде ϕ = q2π , q>>1 – целое число, которое мы будем называть индексом продольного типа колебаний. При полном обходе резонатора свет проходит расстояние 2L = qλ q . Таким образом,

условие самосогласования поля приводит к тому, что в резонаторе могут существовать только электромагнитные волны с длиной волны λ q = 2Lq и ча-

стотой колебаний

14

При выполнении условия (23) поле в резонаторе образует стоячую электромагнитную волну. Из оптики известно, что стоячая волна всегда занимает такое положение, при котором узлы привязаны к зеркалам (рис. 6).

c/2L

В описываемом приближении спектр колебаний оптического резонатора (рис. 7) является эквидистантным. Третье условие самосогласования позволяет найти собственные состояния поляризации оптического резонатора.

1.4. Энергетические соотношения в резонаторе

Рассмотрим энергетические характеристики излучения лазера с точки зрения фотонного представления электромагнитного поля. Пусть, как изображено на рис. 5, внутри резонатора лазера распространяется поток фотонов с сечением пучка S и плотностью F. Будем считать усиление и потери малыми, так что f ≈ const. Рассчитаем полное число фотонов в резонаторе. Время прохода фотонов через резонатор определяется как tпр = Lc . Полное число

фотонов, распространяющихся вправо от зеркала З1, составляет FtпрS , и та-

кое же количество фотонов распространяется влево от зеркала З2. Таким об-

разом, полное число фотонов n внутри резонатора удваивается: n = 2LS F. c

Этот результат позволяет по энергии одного фотона Eф = ω рассчитать

15

полную энергию, запасенную в резонаторе: Ec = nEф = 2LS ωF. Энергия, c

уходящая за время tпр через зеркало З1 с пропусканием T1, определяется как

= 2μ S ω F. Эта мощность соответствует полной мощности потерь резонатора.

Введем добротность резонатора так, как она вводится в радиотехнике: угловая частота колебаний, умноженная на отношение запасенной энергии к мощности потерь:

С ростом частоты колебаний и длины резонатора добротность растет. Обычные значения этой величины в оптическом диапазоне составляют порядка

107 -108 .

Рассмотрим динамику потерь энергии в резонаторе. Если приток энергии извне отсутствует, за время dt потери энергии составят

Ec (0) = Ec0 дает зависимость энергии, запасенной в резонаторе, от времени:

называется средним временем жизни фотона в резонаторе. Она связана с шириной полосы резонатора ωc соотношением неопределенностей τc ωc = 1, вытекающим из основных свойств преобразования Фурье. Значение

16

можно получить и из другого известного определения добротности резонатора: Q = ω ωc . Форма спектральной линии резонатора является лоренцевской, что соответствует закону изменения энергии (26). Спектры такого типа будут обсуждаться далее.

1.5. Режимы работы лазера

Проведем анализ режимов работы лазера методом скоростных уравнений. Для этого рассмотрим следующую простейшую модель квантового усилителя и квантового генератора. Предположим, что активная среда состоит из N одинаковых квантовых систем, которые имеют только два энергетических уровня с населенностями N1 и N 2 . В активной среде каким-либо образом создана инверсия населенностей, так что разность населенностей уровней N = N 2 − N1 > 0 , т. е. состояние среды неравновесно. Через активную среду проходит резонансный поток фотонов плотностью F с энергией каждого фотона, равной разности энергий уровней квантовой системыω = E2 − E1. По истечении некоторого промежутка времени за счет вынужденного и спонтанного излучений населенности уровней сравняются, и затем такая система перейдет в равновесное состояние без инверсии населенностей

N < 0.

17

счет постороннего источника энергии. На рис. 8 представлена схема уровней рассматриваемой системы, где также указаны вероятности всех процессов, протекающих в ансамбле квантовых систем. Скорость поступления квантовых систем на верхний уровень равна λN 0 , где λ – скоростная константа возбуждения. Одновременно осуществляется “ тушение” нижнего уровня двухуровневой квантовой системы со скоростной константой δ таким образом, чтобы сумма населенностей верхнего и нижнего уровней оставалась постоянной: N1 + N 2 = N .

Рассмотрим баланс квантовых систем на верхнем уровне. В данной схеме имеют место приход систем в единицу времени за счет возбуждения λN0 и за счет поглощения излучения σFN1 и уход систем за счет спонтанного излучения A21N2 = N 2 τ2 и за счет индуцированного излучения σFN 2 , где τ2 – время жизни верхнего уровня по отношению к спонтанному излучению на нижний уровень, определяемое согласно (3). В результате получаем следующую систему скоростных уравнений

dN 2 dt = 0 . В этом случае система (29) сводится к следующему уравнению: − σF N + λN 0 − (N + N / 2)/ τ2 = 0. Его решением является

Из этого выражения видно, что при увеличении плотности потока фотонов F и интенсивности I = hνF происходит насыщение (уменьшение) инверсии

населенностей. Введем параметр насыщения Is = hν/ 2τ2σ (см. 1.2) и рассмотрим режимы работы лазера при изменении скорости возбуждения λ. Потери в резонаторе будем считать постоянными и равными μ.

1. Режим работы “ ниже порога генерации”, при котором интенсивность излучения I = ωF = 0 . При этом значение плотности инверсии

ненасыщенным, в резонаторе присутствует только спонтанное излучение.

18

2. Режим работы “ у порога генерации”, соответствующий началу генерации. При этом интенсивность излучения по-прежнему равна нулю, и выполняется условие равенства “ ненасыщенного” коэффициента усиления потерям G0 = μ . Величина

называется пороговым значением инверсии населенностей. Этому режиму

соответствует значение скорости возбуждения λt = N + μ / σl .

2τ2 N 0

3. Режим работы лазера “ выше порога генерации”, соответствующий увеличению скорости и возбуждения до значения λ > λt . При этом вместе с λ вырастет ненасыщенное значение инверсии (30) и ненасыщенный коэффициент усиления G0 G0 = N 0σ l. Он характеризуется конечным значением интенсивности излучения и насыщенным значением инверсии населенностей:

ется постоянной. Из уравнения (33) мы может определить стационарное зна-

отношению ненасыщенного значения инверсии к ее значению у порога генерации:

называется относительным возбуждением и является основным параметром, определяющим режим генерации лазера. Введем величину поперечного сечения пучка внутри резонатора S и определим мощность светового потока

внутри резонатора Pin = SI. Исходя из этого значения, получаем мощность выходного излучения лазера через зеркало с коэффициентом пропускания T

Аналогично можно проанализировать и случай уменьшения потерь в резонаторе, начиная со значения μ > G0 . Генерация здесь начинается при достижении значения потерь μ = G0 = σ N0l . С дальнейшим уменьшением потерь пороговая инверсия населенностей падает, как Nt = μσl , а относительное возбуждение растет, как χ = G0/μ. При этом выходная мощность по-

19

прежнему определяется выражением (35), а величина G0 определяется по (18) или (19) в зависимости от степени насыщения.

1.6. Форма и ширина линии излучения активной среды

Однородное уширение. Сначала рассмотрим линию излучения ансамбля неподвижных идентичных квантовых систем. Для анализа формы линии излучения используем классическое приближение, в котором электромагнитное поле, излучаемое квантовой системой при спонтанном переходе с уровня 2 на 1, записывается в виде E = E0 exp(− t2τ2 )sin ω0t (здесь E0 – амплитуда электрического поля электромагнитной волны, а множитель 12 в показателе степени связан с переходом от интенсивности к амплитуде поля). Зависимость амплитудного множителя от времени соответствует экспоненциально-

му закону распада верхнего квантового состояния (5) за счет спонтанного излучения. Примерный вид изменения напряженности

электромагнитного поля представлен на рис. t 9. Запишем преобразование Фурье этого про-

Спектральная плотность мощности излучения определяется величиной E 2 (ω). Из преобразования Фурье получаем

Рассматривая только положительные частоты (что приводит к удвоению результата) и пренебрегая малым вторым членом, получаем нормированную функцию распределения мощности излучения по частотам

20