pdm_01
.pdf
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики
Дискретная математика
курс лекций лекция 1
|
Введение. |
Кафедра |
Системы счисления |
|
|
«Проектирования и |
|
безопасности |
|
компьютерных систем»
Гришенцев А. Ю. |
|
|
www.moveinfo.ru |
Санкт-Петербург |
|
|
|
|
|
2014 |
1 |
|
|
Область знаний дискретной математики
Дискретная математика – область математики,
изучающая структуру, порядок и отношения дискретных величин.
Дискретность от лат. discretus — разделѐнный, прерывистый. 2
Объекты кажущиеся на первый взгляд непрерывными на самом деле могут быть дискретными
Многое зависит от масштаба...
3
Место дискретной математики
oАлгебра и анализ
oТеория графов и теория матриц
oТеория чисел и математическая статистика oТеория множеств и логика
oЧисленные методы и цифровая обработка
Практика применения методов дискретной математики
oЭлектроника и схемотехника oПроектирование ЭВС и вычислительные сети
oПрограммирование и цифровая обработка сигналов oИнформационная безопасность и криптография oОптимизация и исследование операций oЧисленные методы и цифровая обработка oЛогистика и менеджмент
o… … … … … … … … … … … … |
4 |
Системы счисления
Система счисления – метод формального (знакового) представления чисел.
*********************************************************************
Позиционные системы счисления – значение числа зависит от позиции знаков в его записи.
Непозиционные системы счисления - значение числа не зависит от позиции знаков в его записи, возможны дополнительные условия определяющие порядок записи знаков (системы счисления: римская, остаточных классов и др.).
Смешанные системы счисления – присутствуют признаки позиционной и непозиционной систем счисления (системы счисления: Фибоначчи, факториальная и др.).
5
Соотношения в некоторых позиционных системах
двоичная |
восьмеричная |
десятичная |
шестнадцатеричная |
x2 |
x8 |
x10 |
x16 |
0000 |
00 |
00 |
0 |
0001 |
01 |
01 |
1 |
0010 |
02 |
02 |
2 |
0011 |
03 |
03 |
3 |
0100 |
04 |
04 |
4 |
0101 |
05 |
05 |
5 |
0110 |
06 |
06 |
6 |
0111 |
07 |
07 |
7 |
1000 |
10 |
08 |
8 |
1001 |
11 |
09 |
9 |
1010 |
12 |
10 |
A |
1011 |
13 |
11 |
B |
1100 |
14 |
12 |
C |
1101 |
15 |
13 |
D |
1110 |
16 |
14 |
E |
1111 |
17 |
15 |
F |
|
|
|
|
Три разряда в двоичной системе соответствуют одному в восьмеричной, 6 четыре разряда в двоичной - одному в шестнадцатеричной.
Позиционная система счисления
|
N 1 |
|
|
|
|
x |
a |
bk |
(1.1) |
|
|
k |
|
|
|
k |
M |
|
|
b |
целое число, основаниесистемы счисления (b 1), |
|||
ak |
знак (цифра) в |
разряде k, 0 ak (b 1), |
||
k |
номер разряда. |
|
|
|
*********************************************************************
Пример (1.1): произвести перевод 1011.010012 → x10.
Номер |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
разряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 23 |
0 22 |
1 21 |
1 20 |
0 2 1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 2 |
0 |
2 3 |
0 2 4 |
1 2 5 |
11.28125 10 |
|
Многочлен (1.1) называют многочленом Горнера, а метод преобразования чисел с использованием данного многочлена Метод Горнера.
7
Ещѐ примеры
Пример (1.2): произвести перевод 2A.1E16 → x10.
x |
2 161 |
10 160 |
1 16 1 |
14 16 2 |
42.1171875 |
10 |
|
|
|
|
|
Пример (1.3): произвести перевод 17.87510 → x2.
Целая часть |
Дробная часть |
|||||
17 |
: 2 |
8 |
1 |
0.875 |
2 |
1.75 |
8 |
: 2 |
4 |
0 |
0.750 |
2 |
1.50 |
4 |
: 2 |
2 |
0 |
0.500 |
2 |
1.00 |
2 : 2 1 0 |
Результат |
|||||
1: 2 |
0 |
1 |
10001 .1112 |
|||
8
Форматы с фиксированной точкой
Смещѐнный двоичный |
С разделением поля |
Дополнительный код |
|||
x10 |
x2 |
x10 |
x2 |
x10 |
x2 |
8 |
1111 |
7 |
0111 |
7 |
0111 |
7 |
1110 |
6 |
0110 |
6 |
0110 |
6 |
1101 |
5 |
0101 |
5 |
0101 |
5 |
1100 |
4 |
0100 |
4 |
0100 |
4 |
1011 |
3 |
0011 |
3 |
0011 |
3 |
1010 |
2 |
0010 |
2 |
0010 |
2 |
1001 |
1 |
0001 |
1 |
0001 |
1 |
1000 |
0 |
0000 |
0 |
0000 |
0 |
0111 |
0 |
1000 |
-1 |
1111 |
-1 |
0110 |
-1 |
1001 |
-2 |
1110 |
-2 |
0101 |
-2 |
1010 |
-3 |
1101 |
-3 |
0100 |
-3 |
1011 |
-4 |
1100 |
-4 |
0011 |
-4 |
1100 |
-5 |
1011 |
-5 |
0010 |
-5 |
1101 |
-6 |
1010 |
-6 |
0001 |
-6 |
1110 |
-7 |
1001 |
-7 |
0000 |
-7 |
1111 |
-8 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
Наиболее используемый формат – дополнительный код. |
9 |
|
Способперевода 1 Дополнительный код
1. Для положительных чисел преобразование x10 x2 . 2. Для отрицательных чисел :
2.1.взять модуль числа и
преобразовать в двоичный формат| x10 | x2 ; 2.2.инвертировать все биты и добавить единицу. Способперевода 2
Использовать свойство: 0 x2 |
x2 . |
Пример (1.4): преобразовать в дополнительный код: -1810
Способ1: ( 1810 ) |
| 00010010 2 | |
11101101 2 11101110 2 |
||
Способ2 : | 1810 | |
0001 0010 2 |
0000 0000 2 |
|
|
|
|
0001 0010 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1110 1110 2 |
|
|
Необходимо помнить о возможности переполнения. 10