Высшая математика3,4
.pdf
Тема 18. Случайные величины.
18.Понятие случайной величины и основные формулы.
1.Определение. Переменная величина x называется случайной величиной, если в
результате испытания она примет одно и только одно возможное значение, наперѐд неизвестное и зависящее от случайных причин.
2. F(x)=P(X x), где x- заданное значение, событие (X x) означает, что случайная величина X примет значение левее точки x.
3. Производная от функции распределения (F (x)) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
т.е. F (x)=f(x)- плотность вероятности непрерывной случайной величины.
x
4. F (x) f (x)dx нахождение функции распределения непрерывной случайной
величины X по еѐ плотности распределения.
b
5. P(a x b)= f (x)dx - вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в
a
интервал (a,b). P(a x b)=F (b)-F(a)- для дискретной случайной величины.
6.M ( X ) xi pi - математическое ожидание дискретной случайной величины X (центр
i 1n
распределения X ).
b
7. M ( X ) xf (x)dx - математическое ожидание непрерывной случайной величины X, все
a
значения которой находятся в a,b .
8. M ( X ) xf (x)dx -математическое ожидание непрерывной случайной величины X в
случае, если значения еѐ сплошь заполняют числовую ось (ox) f(x)- плотность вероятности.
9.M(X-M(X))2=Д(X)- определение дисперсии дискретной случайной величины X.
10.M(X2)-(M(X))2=Д(X)- формула для вычисления дисперсии.
11.
Д(X ) = ( X ) - среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
b
12. Д ( X ) (x M ( X ))2 f (x)dx - определение дисперсии непрерывной случайной
a
величины, где M(X)- математическое ожидание f(x)- плотность вероятности
Д(X)- дисперсия непрерывной случайной величины X, если все еѐ возможные значения сосредоточены на a,b .
|
|
|
|
13. |
Д ( X ) (x M ( X ))2 f (x)dx - дисперсия в случае, когда значения Н.С. В. сплошь |
||
|
|
|
|
заполняют числовую ось (OX). |
|
|
|
|
b |
|
|
14. |
Д ( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2 и |
Д ( X ) x2 f (x)dx (M ( X ))2 - формулы для |
|
|
a |
|
|
вычисления дисперсии Н.С.В. |
|
|
|
15. |
k M ( X k ) начальный момент k-го порядка. |
|
|
|
M k M (( x M ( X )) k ) центральный момент k-го порядка. |
k и M k позволяют |
|
лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность.
31
16.As M 3 - асимметрия
3
ek M 4 3 эксцесс
4
As и ek оценивают отклонение теоретического распределения от нормального. 17. Равномерное распределение.
Равномерным называется распределение таких случайных величин , все значения которых лежат наa,b и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке (см. рис).
f(x)
C_
| |
| |
|
a |
b |
x |
|
|
|
|
0, при x a |
|
|
|
|
f(x)= C, при a x b |
|
|
|
|
0, при x b |
18. |
Биномиальное распределение . Закон дискретной случайной величины X, заданной |
|||
формулой Бернулли: |
P |
Cm pm qn m , где q= 1-p называется биномиальным. |
||
|
|
m,n |
n |
|
19. |
Закон распределения дискретной случайной величины X, заданный формулой |
|||
Пуассона |
|
|
|
|
P( X m) |
a m |
e a , называется законом Пуассона. |
||
|
||||
|
|
m! |
|
|
20.Нормальный закон распределения Н.С. В. характеризуется плотностью
( x a)2
1e 2 2
2П
|
|
a |
|
a |
|||
21. |
P ( X )= Ф |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
a |
|
||||
или P ( X ) 0,5 Ф |
|
|
|
Ф |
|
|
|
- вероятность попадания на участок , |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
случайной величины x , подчинѐнной нормальному закону , где Ф(x)- функция Лапласа.
22. |
P |
|
x a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2Ф |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
P( |
X a |
) Ф |
|
|
|
-вероятность отклонения нормальной случайной величины X |
|
|
|
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|||
от еѐ математического ожидания, где a=M(X), - среднее квадратическое отклонение.
32
18.2.Примеры решения задач.
Задача 1. Пусть X- дискретная случайная величина, заданная рядом распределения:
x i |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
p i |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
а)Записать для данной случайной величины X функцию распределения F(x). б) вычислить вероятность попадания случайной величины на участок 1, 7 .
Решение:
а) По определению F(x) = P(X x)
| |
| |
| |
| |
| |
| |
x, тогда |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
|
0, если x 0 , |
или |
(x ( ;0)) |
|
|
|
|
0,2, если x 0;1) |
|
|
|
||
|
0,2+0,1=0,3, |
если x 1;3) |
|
|
||
F(x )= |
0,2+0,1+0,2=0,5, если x 3;5) |
|
||||
|
0,2+0,1+0,2+0,3=0,8, если x 5;7) |
|
||||
|
0,2+0,1+0,2+0,3+0,1=0,9, если x 7;9) |
|||||
|
0,2+0,1+0,2+0,3+0,1+0,1=1, если x 9; ) |
|||||
б) P(a X b)=F(b) - F(a), тогда |
|
|
|
|
|
|
|||||
P(1 X 7)=F(7) -F(1)= 0,8-0,2=0,6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 2 . Найти M(X), Д (X), ( X ) |
дискретной случайной величины, если |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
0 |
1 |
3 |
|
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p i |
0,3 |
0,1 |
0,3 |
|
0,2 |
|
0,1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) M ( X ) xi pi ; |
M (X ) 0 : 0,3 1 0,1 3 0,3 5 0,2 7 0,1 2,7 |
||||||||||
i 1
б) Д ( X ) M ( X 2 ) (M (x)) 2 ;
M ( X 2 ) 02 0,3 12 |
0,1 32 |
0,3 52 0,2 72 0,1 12,7 |
||||
Д ( X ) 12,7 (2,7)2 |
5,41 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
в) (X ) Д(X ) |
(X ) |
|
5,41 2,33 |
|||
Задача 3. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х) = 5; дисперсия D(X) = 0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение в интервале (4, 7).
Решение. Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ( , ), вычисляется по формуле:
P( X ) f (x)dx.
Если величина X распределена но нормальному закону, то
33
|
|
|
a |
|
a |
|
|
||||
|
|
P( X ) Ф |
|
|
Ф |
|
|
, |
|
(6) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
=4 |
и =7. Подставив эти |
|||
где а=М(Х) и D(X ) . По условию задачи а = 5, |
|
0,64 =0,8, |
|||||||||
данные в (6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
||
7 5 |
|
|
4 5 |
|
|
|
|
||
P(4 X 7)= Ф |
|
|
|
Ф |
|
|
Ф(2,5) Ф( 1,25) |
Ф(2,5) Ф(1,25) |
0,4938 0,3944 0,8882. |
|
|
||||||||
0,8 |
|
|
0,8 |
|
|
|
|
||
Задача 4. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта
является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Стандартная длина (математическое ожидание) = 40 см, среднее квадратическое отклонение |
= |
||||||||||||||||
0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной |
|
||||||||||||||||
величине не более 0,6 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Если X — длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в |
|||||||||||||||||
интервале (a , a ) , где а = 40 и = 0,6. Подставив в формулу (6) |
a |
и |
a , |
|
|||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a a |
a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P(a X a ) Ф |
|
|
Ф |
|
|
|
Ф |
Ф |
|
|
|
2Ф |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
||
P ( | X-а | ) 2Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P ( |X - 40| 0,6 )= 2Ф |
|
2Ф(1,5) |
2 |
0,4332 0,8664. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, вероятность того, что изготавливаемые детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8864.
18.3Вопросы для самопроверки.
1.Дайте определение непрерывной случайной величины и дискретной случайной величины. Приведите примеры.
2.Какие законы распределения вероятностей случайной величины вы знаете?
Приведите примеры для дискретной случайной величины и для непрерывной случайной величины.
3.Сформулируйте вероятностный смысл числовых характеристик.
4.Запишите формулы для вычисления числовых характеристик дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины.
5.Определение функции распределения и плотности вероятности непрерывной
случайной величины.
6. Нарисуйте график функции распределения для дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения вероятностей:
x i |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
p i |
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
|
|
|
34
Тема 19. Проверка статической гипотезы о нор мальном законе распределения случайной величины с помощью критерия Пирсона ( X2 ).
19.1. Краткие теоретические сведения.
Суть проверки статической гипотезы о нормальном законе распределения (как и любого другого) состоит в сравнении данных о случайной величине, полученных эмпирическим путѐм и теоретическим.
Проверка производится с помощью некоторой критериальной величины.
В этой теме проверку будем делать с помощью критерия согласия Пирсона. Критерий согласия Пирсона предполагает:
|
|
s |
(m m* )2 |
|
||
1. |
Найти X набл2 |
|
i |
|
i |
, вычисленное с учѐтом эмпирических и теоретических частот |
|
m |
* |
||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
|
(mi и mi* ) |
|
|
|
|
|
2. |
Найти X 2 |
по таблице в зависимости от чисел K и , где K=S-3- число степеней свободы, S- |
||||
|
крит |
|
|
|
|
|
число групп распределения, - уровень значимости (достаточно малая вероятность). На практике обычно принимают между числами 0,01 и 0,05
3. Сравнить набл2 и крит2 :
Если набл2 крит2 , то гипотеза о нормальном законе данного эмпирического распределения
принимается на уровне значимости , т.е. есть основание считать, что эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (различия случайны. В противном случае
( набл2 крит2 )) гипотеза отвергается на выбранном уровне значимости.
19.2. Образец выполнения работы.
Дана X- средняя заработная плата
x i-x i+1 |
100-150 |
150-200 |
200-250 |
250-300 |
|
300-350 |
350-400 |
400-450 |
450-500 |
500-550 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m i |
1 |
3 |
10 |
20 |
|
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
S=9- число интервалов |
|
n mi |
|
|
|
|
|
|
||||
i 1
n= 100- объѐм выборки
1. Представим исходные данные в виде дискретного вариационного ряда.
x i |
125 |
175 |
225 |
275 |
325 |
375 |
425 |
475 |
525 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m i |
1 |
3 |
10 |
20 |
33 |
17 |
11 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
2. Составим таблицу.
Таблица 1.
x i |
m i |
u i |
m |
u |
i |
m |
i |
u 2 |
m |
i |
u 3 |
m |
i |
u 4 |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
|
i |
||||
125 |
1 |
-4 |
-4 |
|
|
16 |
-64 |
256 |
||||||
175 |
3 |
-3 |
-9 |
|
|
27 |
-81 |
243 |
||||||
225 |
10 |
-2 |
-20 |
|
40 |
-80 |
160 |
|||||||
275 |
20 |
-1 |
-20 |
|
20 |
-20 |
|
20 |
||||||
325 |
33 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
375 |
17 |
1 |
17 |
|
|
17 |
|
17 |
|
17 |
||||
425 |
11 |
2 |
22 |
|
|
44 |
|
88 |
176 |
|||||
475 |
4 |
3 |
12 |
|
|
36 |
108 |
324 |
||||||
525 |
1 |
4 |
4 |
|
|
16 |
|
64 |
256 |
|||||
|
|
|
2 |
216 |
32 |
1452 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ui xi 325 (условная варианта ). 50
50= h- шаг интервала
325=С – ложный нуль (среднее значение между x i);
3.Вычислим необходимые числовые характеристики.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В условных вариантах |
|
|
|
|
|
|
|
В исходных вариантах |
||||||||||||||||||||
|
M1* (u) mi |
ui |
|
|
|
2 0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i 1 |
n |
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s |
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M 2* (u) |
|
|
mi |
|
i |
|
|
|
|
216 |
|
|
2,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s |
u |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M 3* (u) |
|
mi |
|
i |
|
|
|
|
32 |
|
|
0,32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
s |
u |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
M 4* (u) |
mi |
|
i |
|
|
|
|
|
1452 |
14,52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(u) M * (U) 0,02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 50 325 326 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xв |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д |
в |
2,16 50 2 |
5399 ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (u) M * (u) (M * (u))2 |
2,16 (0,02)2 |
2,16 |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5399 73,88 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m M * 3M * M * 2(M * )3 |
0,32 3 0,02 2,16 2 (0,02)3 |
0,3 |
m3 |
0,3 50 |
3 |
37500 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
m M * 4M * M * |
6(M * )2 |
M * 3(M * )4 14,52 4 0,02 0,32 |
m4 |
14,49 |
50 |
4 |
90562500 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6 (0,02)2 2,16 3 (0,02)4 14,49 |
|
|
|
|
|
|
|
m3 |
|
|
|
37500 |
|
0,09 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
3 |
(73,78)3 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
m4 |
|
3 |
90562500 |
|
3 0,056 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
(73,78)4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
4.Вычислим теоретические частоты с помощью таблицы № 2
где m* |
n h |
(u |
), |
n- объѐм выборки |
|
||||
i |
|
i |
|
|
|
b |
|
|
|
h- шаг, b - среднее квадратическое отклонение.
Таблица № 2.
X I |
m I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ui ) |
mi* |
||
x x |
|
|
ui |
|
x x |
|
||||||||||
|
|
i |
|
|
b |
|
i |
|
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
125 |
1 |
-201 |
|
|
|
-2,72 |
|
|
|
0,0099 |
0,67 0,7 |
|||||
175 |
3 |
-151 |
|
|
|
-2,05 |
|
|
|
0,0488 |
3,31 3,3 |
|||||
225 |
10 |
-101 |
|
|
|
-1,37 |
|
|
|
0,1561 |
10,58 10,6 |
|||||
275 |
20 |
|
-51 |
|
|
|
-0,69 |
|
|
|
0,3144 |
21,31 21,3 |
||||
325 |
33 |
|
-1 |
|
|
|
|
-0,04 |
|
|
|
0,3986 |
27,01 27,0 |
|||
375 |
17 |
|
49 |
|
|
|
0,66 |
|
|
|
|
0,3209 |
21,75 21,8 |
|||
425 |
11 |
|
99 |
|
|
|
1,34 |
|
|
|
|
0,1626 |
11,02 11 |
|||
475 |
4 |
149 |
|
|
|
2,02 |
|
|
|
|
0,0519 |
3,52 3,5 |
||||
525 |
1 |
199 |
|
|
|
2,70 |
|
|
|
|
0,0104 |
0,70 0,7 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Вычислим наблюдаемые значения X2 c помощью таблицы № 3
Таблица № 3
m i |
mi* |
mi mi* |
(mi mi* )2 |
|
(mi mi* )2 |
|
|
|
|
|
|
m* |
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
0,7 1 |
0,3 |
0,09 |
0,13 |
|
|
3 |
3,3 3 |
-0,3 |
0,09 |
0,03 |
|
|
10 |
10,6 11 |
-0,6 |
0,36 |
0,03 |
|
|
20 |
21,3 21 |
-1,3 |
1,69 |
0,08 |
|
|
33 |
27,0=27 |
3,0 |
9,00 |
0,33 |
|
|
17 |
21,8 22 |
-4,8 |
23,04 |
1,06 |
|
|
11 |
11,0=11 |
0,0 |
0,00 |
0,00 |
|
|
4 |
3,5 3 |
0,5 |
0,25 |
0,07 |
|
|
1 |
0,70 1 |
0,3 |
0,09 |
0,18 |
|
|
|
|
|
|
1,91 набл2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
набл2 1,91
6.Число степеней свободы k=S-3=9-3=6, где S- число групп (интервалов).
7.Найдѐм 2 крит.(табл.) по уровню значимости 0,05 и k=6 (число степеней
свободы):
табл2 (крит) 12,6
8. Сравним |
2 |
и 2 |
: 1,91< 12,6 |
|
набл |
крит |
|
37
Так как набл2 крит2 , то эмпирические данные не противоречат предположению о
нормальном распределении данной выборки, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины X- средней заработной платы принимается на уровне значимости 0,05
9. Убедиться наглядно о величине расхождения эмпирических и теоретических частот. Построим точки:
(xi , mi ) : (125;1), (175;3), (225;10), (275;20), (325;33), (375;17), (425;11), (525;1), (475;4) (xi , mi* ) : (125;1), (175;3), (225;11), (275;21), (325;27), (375;22), (425;11), (475;3) (525;1)
и соединим точки теоретического распределения плавной линией, эмпирического распределенияломаной линией.
mi , mi*
40_
---------------------------------------------
30_
---------------------------------------------
|
-------------------------------------- |
|
|
|
|
|
|
|||
20 |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------------------------- |
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
_ ---------------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|
|
125 |
175 |
225 |
275 |
325 |
375 |
425 |
475 |
525 |
X i |
а) Так как As 0,9 >0, значит наблюдается левосторонний скос кривой. Это говорит о том, что получение заработной платы выше среднейсобытие более достоверное.
б) ek 0,056 0, т.е. наблюдается небольшой эксцесс. Так как e k >0, то отклонение от нормы наблюдается в сторону завышения, хотя и не очень большого.
19.3. Вопросы для самопроверки.
1.Записать формулу для нахождения значений величины X2
2.Какому закону подчиняется величина X2?
3.Как найти значение X2 по таблице?
4.Как подсчитать число степеней свободы?
5.Сформулируйте решающее правило при использовании критерия X2 в
предположении нормального распределения данной выборки.
6.При решении каких статических задач применяется критерий X2 ?
7.По какой формуле подсчитываются значения теоретических частот в
предположении нормального закона распределения.
8. В чѐм суть критерия согласия Пирсона?
38
Контрольная работа № 4.
В ЗАДАЧАХ 281-290 найти вероятности указанных событий, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.
281.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй сигнализатор срабатывает с вероятностью 0,80. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
282.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 0,15. Проверено три изделия. Какова вероятность того, что два из них бракованные?
283.В группе студентов, состоящей из 20 человек, 12 юношей и 8 девушек. Для дежурства случайным образом отобрано двое студентов. Какова вероятность того, что среди них будет один юноша и одна девушка?
284.В ящике имеется 12 деталей, из которых 5 деталей нестандартны. Сборщик наудачу извлекает из ящика 4 детали. Какова вероятность того, что все они будут нестандартны?
285.Студент знает 15 из 20 вопросов программы. Какова вероятность того, что он знает все три вопроса, предложенные экзаменатором?
286.Техническое устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа этих элементов соответственно равны 0,05; 0,07 и 0,09. Найти вероятность того, что техническое устройство не сработает, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
287.Для поражения цели достаточно одного попадания. По цели произведено три выстрела с вероятностями попадания 0,75.; 0,85; 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
288.Вероятность попадания в мишень при трех выстрелах хотя бы один раз для некоторого стрелка равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
289.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,3. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два будут высшего сорта.
290.Исследователь разыскивает нужные ему сведения в трех справочниках. Вероятности того, что эти сведения находятся в первом, во втором и в третьем справочнике равны соответственно 0,7; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что требуемые сведения содержатся хотя бы в одном справочнике.
В ЗАДАЧАХ 291-300 две независимые дискретные случайные величины X и Y заданы своими законами распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины.
|
|
|
|
|
|
Z =3X-2Y. |
|
|
|
|
|
|
||
|
291. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
-6 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
Y |
|
-8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,1 |
0,1 |
0,6 |
0,2 |
|
|
|
P |
|
0,4 |
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
292. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
-3 |
2 |
|
|
||
X |
|
-2 |
-1 |
0 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,3 |
0,7 |
|
|||
P |
|
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
293.
X |
|
-5 |
-4 |
-2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
294. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
-6 |
-3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
295. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
-4 |
-2 |
-1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
296. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
-2 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
297. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
-7 |
-5 |
-2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,4 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
298. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
-1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
P |
|
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
Y |
-8 |
-1 |
|
|
|
P |
0,7 |
0,3 |
|
|
|
Y |
-2 |
8 |
|
|
|
P |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
Y |
-3 |
-1 |
|
|
|
P |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
Y |
1 |
3 |
|
|
|
P |
0,2 |
0,8 |
|
|
|
Y |
-3 |
4 |
|
|
|
P |
0,1 |
0,9 |
|
|
|
Y |
-2 |
1 |
|
|
|
P |
0,8 |
0,2 |
|
|
|
40