Высшая математика3,4
.pdfПотенцируя, находим |
|
x |
|
Ct |
, или x(1+t²)=Ct. Из введѐнной подстановки следует, что t |
y |
. |
|||||||
|
|
t 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|||||
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
y |
|
|
|
|||
Следовательно, |
x 1 |
|
|
|
|
|
C |
|
|
или x²+y²= Cy – общее решение данного уравнения. |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Найти общее решение уравнения y'-y tg x=2 xsec x.
Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию y и еѐ производную y' в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку y= uv, где u и v –некоторые неизвестные функции аргумента x. Если y=uv, то y'= (uv)'= u'v+uv' и данное уравнение примет вид:
u'v+uv'-uvtg x= 2x sec x, |
|
или |
|
v(u'-utg x)+ uv'= 2xsec x. |
(1) |
Так как искомая функция y представлена в виде произведения двух других неизвестных функции, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части неравенства (1), обращалось в нуль, т.е выберем функцию u так, чтобы имело место равенство
u'-utg x=0 |
(2) |
При таком выборе функции u уравнение (1) примет вид |
|
uv'= 2x sec x. |
(3) |
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим это уравнение:
|
|
|
du |
utgx 0; |
du |
utgx; |
|
du |
tgxdx; |
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
u |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
du |
tgxdx; |
ln u= -ln cos x, |
u |
1 |
; |
|
или |
u sec x |
||
u |
cos x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное рашение, которое соответствует значению произвольной постоянной C=0.) Подставив в (3) найденное выражение для u, получим:
secxv'=2xsecx; v'=2x; |
dv |
2x; |
dv=2xdx. Интегрируя , получаем v=x²+C. Тогда |
|
dx |
||||
|
|
|
y=secx(x²+C)- общее решение данного уравнения.
12.3.Вопросы для самоконтроля.
1.Какое уравнение называется дифференциальным?
2.Как определяется порядок уравнения? Примеры.
3.Что значит решить ДУ1 ?
4.Какая функция называется решением ДУ1 ?
5.Какое решение называется общим, частным?
6.Как найти частное решение ДУ1 по начальным условиям? Записать план операций, выполняемых при решении на примере y'-2x=0 при начальных условиях y(-2)=4.
7.Сформулировать геометрический смысл общего и частного решения ДУ1.
11
Тема 13. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Пискунов, гл. VIII, §16-25, Упр. 118-158.
Данко, § 2 ,3 часть II
|
13.1 Основные понятия. Типы ДУn |
|
||
1. Определение: |
Равенство |
вида |
F x, y, y , y ,... y n 0 называется |
ДУn |
( дифференциальным уравнением n-го порядка).
2.y= (x,c1,c2,…,cn )- общее решение ДУn, где x-аргумент, c1,c2…,cn – произвольные постоянные.
3.Задача Коши .
F (x, y, y',y″,…,y(n) )=0- данное ДУn
y(x 0)= y 0 , y' (x 0)=y'0 ,…,y(n-1) (x 0)= y0(n-1) - начальные условия
Задача Коши находит частное решение ДУn.
4.y(n) =f (x). Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием данного уравнения.
5.y"= f (x, y') или F (x, y', y")=0- уравнение не содержит переменную y (искомую функцию).
Решается подстановкой y'= P (x), y"= P' (x)
6.y"= f (y,y') или F (y, y', y")=0- уравнение не содержит переменную x (аргумент).
Решается подстановкой y'= P (y), y"= P' (y) y' или y"=P'· P
7.y"+py'+qy=f (x)- линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q.
Если f (x) 0, то уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2- го порядка (ЛНДУ2 )
Если f (x) 0, то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка (ЛОДУ2).
8.Система ДУ вида:
dx1 f1 (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt
dx2 f2 (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt
dxn fn (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt
где x1, x2, x3,…,xn- неизвестные функции независимой переменной t называется нормальной системой.
Иногда нормальную систему удаѐтся свести к одному ДУn , содержащему одну неизвестную функцию методом исключения других неизвестных.
В некоторых случаях после несложных преобразований удаѐтся получить легко интегрируемые уравнения.
12
13.2. Примеры решения задач
Задача 1. Найти частное решение ДУ3
y"'= 2x при начальных условиях:
y (1)= 2 y' (1)= 4 y" (1)= -2
Решение: 1) Проинтегрируем данное уравнение последовательно три раза.
|
|
|
|
y"= 2xdx= x²+ c 1 |
|
|
|
|
(1) |
||||||||
|
|
y| (x 2 |
C| )dx |
x3 |
c1 x c2 |
|
|
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x4 |
|
c x2 |
|
|
|
|
|
||||
y |
|
|
|
c x c |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
c |
|
x c |
|
(3)- общее решение. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|||||||||
|
|
3 |
1 |
|
|
12 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Найдѐм частное решение, подставив соответствующие начальные условия в (1), (2), (3).
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 =1² +С, |
С1 = -3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2) |
|
|
|
4 |
13 |
|
с |
1 с |
|
, |
c |
|
4 |
1 |
3 6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(3) |
2 |
14 |
|
( 3) 12 |
6 |
|
2 |
1 c |
|
, |
|
c |
|
2 |
1 |
|
|
3 |
4 |
, |
c |
|
24 1 18 |
|
7 |
; |
|||||||||||||
|
12 |
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
12 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
12 |
12 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Тогда частное решение имеет вид: |
|
y |
x 4 |
|
|
3x 2 |
6 |
2 |
x |
7 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
12 |
|
|
|
|
Задача 2. Дано уравнение: (x²+1) y"= 2xy'. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: y(0)= 1; y'(0)=3.
Решение: Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию y. Положим y'=p, где p- некоторая функция аргумента x. Если y'=p, то y"=dp/dx и данное
уравнение примет вид x2 1 dpdx 2xp. Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных p и x.
Решим это уравнение: |
dp |
|
2xdx |
; |
|
dp |
|
2xdx |
; |
ln p = ln(x²+1)+ln C1 , |
|
|
|
|
|||||||
p |
x 2 1 |
p |
x 2 1 |
откуда p= C1(x²+1) или y'=C1(x²+1).
Определим численное значение С1 при указанных начальных условиях. Имеем 3=С1(0+1). Следовательно, С1=3. Теперь решаем уравнение первого порядка y'=3(x²+1):
dy= 3(x²+1)dx;
y=3 (x²+1)dx= x³+3x+C2 .
Определим численное значение С2 при указывающих начальных условиях. Имеем 1=0+0+С2 ; C2=1. Таким образом, y= x³+3x+1 есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным
условиям.
13
Задача 3. Дано уравнение 2 yy"= (y')². Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y(-1)=4; y'(-1)=1.
Решение. Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента x. Положим
y'=p, где p-некоторая функция |
|
переменной |
y. |
|
Если |
|
|
y'=p, |
|
|
|
то |
y |
|
dp |
|
dp |
|
dy |
|
dp |
y |
p |
dp |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dy |
|
|
dx |
|
dy |
|
dy |
|||
Тогда данное уравнение примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 yp |
|
|
|
p |
|
; |
|
|
|
2 yp |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
0; |
|
p |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
p 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: p=0; y'=0; y=C- решение данного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравняем нулю второй множитель: |
|
2 y |
dp |
p 0; |
|
|
|
dp |
|
dy |
; |
|
ln p |
1 |
ln y ln C ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
2 y |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p=C1 |
|
|
|
|
y , или y'=C1 |
|
|
|
y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Используя начальные условия, находим C1: |
1=С1 |
4 ; |
|
C1=1/2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Далее решаем уравнение |
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
2 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( 1) c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Теперь определим значение C2: |
|
2 |
|
|
|
4 |
2 |
; |
|
|
|
|
c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x 9)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда 2 |
y |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(x 9) |
|
|
и |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
-искомое частное решение, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
удовлетворяющее указанным начальным условиям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданным начальным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx |
|
x 6 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
x 3t 0,5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0)=1, y(0)= -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной t:
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 x |
|
|
dx |
6 |
dy |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
||||||
В полученном уравнении заменим |
|
dy |
правой частью второго уравнения системы. В результате |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим неоднородное линейное уравнение второго порядка: |
||||||||||||||||
|
d 2 x |
|
dx |
|
6x 18t 3. |
(1) |
||||||||||
|
dt 2 |
dt |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
d 2 x |
|
dx |
6x 0 |
(2) |
||||||||
|
|
|
|
dt 2 |
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Характеристическое уравнение k²-k-6=0 имеем корни: k1=-2, k2=3. Следовательно, общее решение
(2) имеет вид:
Xодн = C1 e-2t + C2 e3t .
Находим частное решение x = At+B. Дважды дифференцируя, получим ( x )'=A, ( x )"=0.
Подставив в (1), находим A=-3 и B=0. Следовательно, x = -3t и x=C1e-2t+C2e3t-3t. |
(3) |
Из первого уравнения системы находим, что 6 y |
dx |
x, или 6y= -2C1e-2t+3C2e3t-3 –C1e-2t - C2e3t+ 3t, |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
dt |
|
||
|
откуда |
|
6y=-3C1e-2t +2C23t+3t-3. |
(4) |
|||
Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему: |
C1+C2=1 и 3C1-2C2=3 . |
||||||
Решение этой системы даѐт C1=1 и C2=0. Следовательно, |
|
||||||
x e 2t 3t и |
y |
1 |
e 2t t 1 -частные решения, удовлетворяющие заданным |
||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
начальным условиям.
13.3 Вопросы для самоконтроля.
1.Дайте определение ДУ2 и общего решения этого уравнения. Пример.
2.Изложить план выполнения операции при решении уравнений второго порядка: а) не содержащих y,
б) не содержащих x.
3.Дать определение линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Привести пример.
4.Как решается ЛОДУ2 с постоянными коэффициентами (описать способ решения).
5.Какой вид имеет общее решение линейного уравнения второго порядка без правой части ( с постоянными коэффициентами) ЛОДУ2 в зависимости от корней характеристического уравнения?
6.Разъяснить правило отыскания частного решения линейного уравнения с правой частью f(x)=A·emx, f(x)= Pn (x)·emx .
7.Какое уравнение называется характеристическим уравнением для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами?
8.Каков геометрический смысл начальных условий для ДУ2?
9.Какова структура общего решения ЛОДУ2?
10.Как составляется общее решение для ЛНДУ2?
11.Разъяснить правило отыскания частного решения ЛНДУ2 с правой частью
f(x)=emx(a cos nx+ b sin nx)
12.В чѐм заключается метод вариации произвольных постоянных?
13.Какая система ДУ называется нормальной?
14.Описать приѐмы сведения произвольной системы ДУ к нормальной.
15.Описать приѐмы сведения нормальной системы к однородному уравнению высшего порядка.
15
Тема14. Числовые ряды.
Пискунов, гл XVI, §1-8, упр 1-28.
Данко, ч II, гл III,§1.
14.1 Основные понятия.
1. Выражение a1+a2+…aп+…= an называется бесконечным числовым рядом, где an=f(n)-
n 1
общий член ряда ( формула бесконечной числовой последовательности ).
2.Ряд называется сходящимся, если его n-я частная сумма Sn стремится к конечному
числу S при n , |
т.е. |
lim Sn S , S-конечное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если lim Sn |
S , S- конечное число, то ряд называется расходящимся. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Если ряд |
an |
сходится, то lim an 0 - |
необходимый признак сходимости числового |
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Первый признак сравнения ( достаточный признак). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если два ряда с положительными членами an |
и bn , причѐм члены |
an |
не превосходят |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующих членов ряда bn |
т.е |
an bn , то |
из сходимости ряда bn следует сходимость |
|||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
an , а из расходимости ряда an |
следует расходимость ряда bn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Второй признак сравнения (достаточный признак). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если существует конечный или отличный от нуля предел отношения |
lim |
an |
|
k - |
конечное |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n b |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
число, то оба ряда одновременно сходятся или одновременно расходятся. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. Признак Даламбера (достаточный признак). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
an 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если для ряда an существует lim |
l , то этот ряд сходится при l 1 и расходится |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
a 1 |
|
|
n |
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при l 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Признак Коши (достаточный признак). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если для числового ряда |
an |
существует |
конечный предел lim n |
an C |
, то этот ряд |
|||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
сходится при c< 1 и расходится при c>1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.Интегральный признак. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если f(x) при x 1-непрерывная положительная и монотонно убывающая функция, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то an , где an = f(n) сходится или расходится, в зависимости от того сходится или расходится |
||||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
несобственный интеграл f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Числовой ряд |
( 1)n an a1 a2 a3 .... - называется знакочередующимся. |
|
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак Лейбница: Если |
абсолютные величины членов ряда убывают, а lima |
0 , то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
знакочередующийся числовой ряд сходится, т.е. если выполняются два условия: |
|
|
|
|
||||||||||||
|
1) |
|a1| > |a2| > |a3|…. |
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
|
2) lim an 0, |
то ( 1)n an сходится. |
n |
n 1 |
10. Если Sn= a1-a2+….+(-1)n-1 an – n-я частичная сумма.
rn= (an+1-an+2 +….)- остаток ряда, тогда выполняется неравенство
rn < an+1, т.е. остаток знакочередующего ряда (rn) по абсолютной величине меньше первого в скобках члена или остаток ряда (rn) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов.
14.2 Примеры решения задач.
|
Задача 1. Исследовать сходимость ряда: |
|
|
|
2 |
|
|
22 |
|
|
23 |
.... |
|
2n |
.... |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
10 |
|
|
10 |
|
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
Решение: Применим признак Даламбера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
a |
|
|
2n |
; a |
|
|
|
|
2n 1 |
|
; |
a |
n 1 |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
n10 |
|
|
|
2n10 |
|
; |
||||||||||||
|
|
n |
n10 |
n 1 |
|
(n 1)10 |
|
|
|
|
(n 1)10 |
|
2n |
|
|
(n 1)10 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
l lim |
an 1 |
lim |
|
|
2n10 |
|
|
|
lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n 1)10 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
a |
|
|
n |
|
n |
(1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. l > 1, то ряд расходится.
1
Задача 2. Исследовать сходимость ряда .
n 1 n 2
Решение. Имеем an n12 , следовательно, f (x) x12 -непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция при x ≥1. Применим интегральный признак сходимости.
|
dx |
|
1 |
|
1 Несобственный интеграл сходится (является конечной величиной), |
|
|
|
|
||||
|
||||||
2 |
x |
|||||
1 |
x |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
поэтому сходится и данный ряд.
14.3. Вопросы для самопроверки.
1.Какое выражение называется числовым рядом с положительными членами? Знакочередующимся числовым рядом?
2.Что понимается под суммой сходящегося числового ряда?
3.Можно ли утверждать, что ряд сходится , если предел его общего члена равен нулю при n ?
4.В чѐм состоит признак Даламбера?
5.Какие знакопеременные числовые ряды называются абсолютно сходящимися и какие условно сходящимися?
6.В чѐм заключается интегральный признак сходимости числового ряда?
7.Сформулировать один из признаков сравнения числовых рядов.
17
Тема 15. Степенные ряды.
Приложения степенных рядов.
Пискунов, гл XVI, § 9-22, упр 40-132
Данко ч. II, гл. III, §2-6.
15. 1. Основные понятия и формулы.
1.Определение. Функциональный ряд вида a 0 +a 1 (x-x 0)+ a 2 (x-x 0)2 +…+a n (x-x 0)+… где a 0, a 1…a n –действительные числа (коэффициенты степенного ряда) называется степенным рядом. a 0 +a 1 x+ a 2 x2 +a 3 x3 +… +an xn +…частный случай степенного ряда.
2. R lim |
|
an |
|
- формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда. |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
a |
|
|
|||||||||||||||||||
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(////////|///////) |
x |
|
|
|
(x0-R,x0+R)- |
|
интервал |
сходимости |
|||||||||||||
x0-R |
|
0 |
|
x0+R |
|
|
|
|
|
степенного ряда: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 0 +a 1 (x-x 0)+ a 2 (x-x 0)2+… |
|
|||||||||
(////////|///////) |
x |
|
|
|
(-R,R)- интервал сходимости степенного ряда |
||||||||||||||||
-R |
|
0 |
|
R |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a 0 +a 1 x+ a 2 x |
2 |
+a 3 x |
3 |
+… |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак |
|||||||||||||||||||||
Даламбера или признак Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
un 1 |
|
1 или |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
lim n |
|
un |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
u |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Un=an(x-x0)n |
|
или Un=an xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Всякая функция f (x), бесконечно дифференцируемая в интервале (x0-R,x0+R), может быть разложена в ряд Тейлора:
f (x) f (x |
|
) |
|
f (x0 ) |
(x x |
|
) |
f (x0 ) |
(x x |
|
)2 |
... |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
или в ряд Маклорена: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) |
f (0) |
f (0) |
x |
|
f (0) |
x 2 |
... |
|
f |
(n) (0) |
x n .... |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
n! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n) (x0 ) |
(x x |
|
)n ... |
|
0 |
||
n! |
|
||
|
|
5.На практике часто приходится прибегать к приближѐнным вычислениям, основанным на разложении некоторой функции в степенной ряд и последующей замене ряда конечной суммой с требуемой точностью. При вычислении определѐнных интегралов, решение дифференциальных уравнений также применяют разложение соответствующих функций в степенные ряды.
18
15. 1. Примеры решения задач.
|
n |
|
n |
||
Задача 1. Найти область сходимости степенного ряда |
3 |
x |
|
|
: |
n |
|
|
|
||
|
|
||||
n 1 |
2 |
|
n |
Решение. Данный степенной ряд можно записать так:
|
3x |
|
|
32 x 2 |
33 x3 |
|
|
3n x n |
|
|
|
3n 1 x n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 1 22 |
2 23 |
3 |
|
|
|
2n n 2n 1 |
|
n |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 xn 1 |
|
|
|
2n |
|
|||||||
Применяем признак Даламбера: lim |
Un 1 |
|
lim |
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Un |
|
|
|
2n 1 n |
|
1 |
|
|
n |
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х,
(1)
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
||
lim |
|
|
|
x |
x |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 1 |
||||||||||||
|
2 n |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для которых |
3 |
|
x |
|
1, или |
x |
2 |
или |
|
2 |
x |
2 |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
3, |
3 |
3. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала. При х=-2/3 ряд (1) примет вид :
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
... |
(2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (2) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при n . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (2) сходится. Следовательно, значение х=— 2/3 принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в (1) x= 2/3, получим: |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
.... (3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд (3) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение x = 2 /з не принадлежит области сходимости данного ря да.
Таким образом, |
2 |
x |
2 |
— область сходимости исследуемого ряда. |
||||
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
12 sin 2x |
|
||
Задача 2. Вычислить интеграл |
|
x |
dx с точностью до 0,001. |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Решение. Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции sin х, будем
иметь: |
|
|
|
|
sin 2x 2x |
(2x)3 |
|
|
|
(2x)5 |
|
(2x)7 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
sin 2x |
2 |
23 x 2 |
|
25 x 4 |
|
|
27 x6 |
...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3! |
|
5! |
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
23 x2 |
25 x |
4 |
|
|
|
27 x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
x3 |
|
25 |
|
x5 |
|
27 |
|
x7 |
|
|||||
2 |
|
sin 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dx (2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...)dx 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|||||||||||||
x |
3! |
5! |
|
7! |
|
|
3! |
|
3 |
5! |
5 |
7! |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
19
= 1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
... 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
... |
|
3!3 |
5!5 |
7!7 |
18 |
600 |
35280 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми тремя членами.
|
1\2sin 2x |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
Итак, |
|
|
dx 1 |
|
|
|
|
|
|
1 0,0556 0,0017 0,946 |
x |
18 |
600 |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции у(х), являющейся частным решением дифференциального урав нения у' =x+ х2 — y2+cosx,
если у(0)=1.
Решение. Положим, что y(x) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если y(x) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем:
y(x) y(0) |
y (0) |
x |
y (0) |
x2 |
|
y (0) |
x3 |
... |
(1) |
||
1! |
2! |
3! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свободный член разложения (1), т.е. |
y(0), дан по условию. Чтобы найти значения y / (0), |
y // (0), y /// (0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной x и затем вычислить значения производных при x=0.
Значение y (0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
y (0)=0+0-1+1=0; y (0)=0
y (x)=1+2x-2yy-sin x- производная данного уравнения (2)
y (0)=1+0-0-0=1;
y (x)=2-2(y )2-2yy-cosx –производная уравнения y (0)=2-0-2-1= -1.
…………………..
Подставив найденные значения производных при x=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
y(x) 1 10! x 21! x2 31! x3 ....
или
y(x) 1 12 x2 16 x3 ...
15.3Вопросы для самопроверки.
1.В чѐм заключается задача разложения функции f(x) в степенной ряд?
2.Как найти интервал сходимости степенного ряда?
3.Как определяются коэффициенты ряда Тейлора?
4.Запишите остаточный член ряда Тейлора.
5.Какой ряд называется рядом Маклорена?
6.В чѐм состоит метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов?
7.В чѐм состоит метод интегрирования функции с помощью степенных рядов?
20