2.4. Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный треугольник

Иногда для упрощения схемы полезно преобразовать звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник. Рассмотрим схему на рис. 2.5. Заменим звезду сопротивлений R1-R2-R3 эквивалентным треугольником сопротивлений RА1-RА2-RА3, включенных между узлами 1-2-3.

Рис. 2.5

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника сопротивлений равно сумме сопротивлений двух прилегающих лучей звезды плюс произведение этих же сопротивлений, деленное на сопротивление оставшегося (противолежащего) луча. Сопротивления сторон треугольника определяются по формулам:

Эквивалентное сопротивление преобразованной схемы равно

3. Анализ электрических цепей постоянного тока с одним источником энергии

3.1. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником методом свертывания

В соответствии с методом свертывания, отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению, включенному к зажимам источника. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним, эквивалентным по сопротивлению. Определяют ток в упрощенной схеме, затем возвращаются к исходной схеме и определяют в ней токи. Рассмотрим схему на рис. 3.1. Пусть известны величины сопротивлений R1, R2, R3, R4, R5, R6, ЭДС Е. Необходимо определить токи в ветвях схемы.

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Сопротивления R4и R5соединены последовательно, а сопротивление R6- параллельно с ними, поэтому их эквивалентное сопротивление

После проведенных преобразований схема принимает вид, показанный на рис. 3.2, а эквивалентное сопротивление всей цепи

Ток I1в неразветвленной части схемы определяется по формуле:

Найдем токи I2и I3в схеме на рис. 3.2 по формулам:

I3= I1- I2- формула получается из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:

I₁- I₂- I₃= 0.

Переходим к исходной схеме на рис. 3.1 и определим токи в ней по формулам:

I6= I3- I4 (в соответствии с первым законом Кирхгофа I3- I4- I6=0).

3.2. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником методом подобия или методом пропорциональных величин

Возьмем электрическую схему на рис. 3.1, зададимся произвольным значением токаЧ в сопротивлении R6, наиболее удаленном от источника питания. По заданному токуи сопротивлению R6 определим напряжение. Далее определим:

,

,

,

,

;

.

Находим значение ЭДС

.

Найденное значение ЭДС отличается от заданной величины ЭДС Е. Вычислим коэффициент подобия. Умножим на него полученные при расчете значения токов и напряжений, находим действительные значения токов цепи.

4. Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии

4.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.

Рис. 4.1

В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:

(4.1)

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (4.1) является зависимой. Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n - 1. Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем.

(4.2)

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры. Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.

(4.3)

Решив совместно системы уравнений (4.2) и (4.3), определим токи в схеме. Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.