3 Інтерполяція функцій у математичних моделях складних об’єктів і систем

3.1 Мета роботи

Набуття практичних навичок інтерполяції функцій в моделях складних об’єктів і систем. Вибір та порівняльний аналіз способів розв’язання задачі інтерполяції функцій.

3.2 Організація самостійної роботи

Для виконання роботи необхідно вивчити теоретичний матеріал теми «Інтерполяція функцій» за конспектом лекцій та [1–4].

Розробити алгоритм процедури інтерполяції довільної функції за наявними вихідними даними.

3.3 Склад лабораторного устаткування

Лабораторна робота виконується на обчислювальному комплексі, у складі якого: локальна обчислювальна мережа комп'ютерів типу IBM PC, OC Windows XP.

3.4 Порядок виконання роботи

1. Вибрати з табл. 3.1 варіант вхідних даних до роботи згідно з номером у списку групи.

Відрізок, що вміщує вузли інтерполяції, задати самостійно, виходячи з виду заданої функції .

Таблиця 3.1 – Варіанти індивідуальних завдань

		16.
		17.
		18.
		19.
		20.
		21.
		22.
		23.
		24.
		25.
		26.
		27.
		28.
		29.
		30.

2. Користуючись правилами побудови поліномів Лагранжа, скласти поліном, що приймає в даних вузлах інтерполяції значення.

3. Використовуючи кубічні сплайни, розв’язати задачу інтерполяції з тими ж вхідними даними.

4. Для виконання п.2,3 розробити програму однією з алгоритмічних мов.

5. Порівняти отримані результати інтерполяції. Для цього побудувати графіки полінома Лагранжа і сплайну в одних координатах. Показати при цьому точки (,). Порівняння сплайну і полінома Лагранжа провести приn=20, n=10 точках. У проміжних точках (що не збігаються з вузлами інтерполяції) обчислити значення заданої функції, полінома Лагранжа і кубічного сплайну. Результати занести в таблицю.

6. Оформити індивідуальний звіт.

3.5 Зміст звіту

Звіт має містити:

1. Постановку задачі інтерполяції функції згідно з індивідуальним завданням.

2. Правила складання поліномів Лагранжа, Ньютона і сплайнів.

3. Складений поліном Лагранжа і сплайн.

4. Результати роботи програми.

5. Результати порівняльного аналізу і висновки з роботи.

3.6 Контрольні запитання і завдання

1. Наведіть постановку задачі інтерполяції.

2. Викладіть схему розв’язання задачі інтерполяції методом Лагранжа.

3. Наведіть схему розв’язання задачі інтерполяції за допомогою поліно­мів Ньютона.

4 Дайте визначення кубічного сплайну. Як розв’язати задачу інтерполяції за допомогою сплайну?

5. Дайте порівняльну характеристику різних методів інтерполяції.

4 Застосування та аналіз методів чисельного диференціювання

1. Мета роботи

Застосування чисельних методів обчислення похідних в різноманітних практичних задачах. Аналіз та порівняння результатів з аналітичними.

2. Організація самостійної роботи

За конспектом лекцій та [1–4] вивчити теоретичний матеріал щодо розв’язання задач чисельного диференціювання за допомогою найпростіших формул з урахуванням та без урахування залишкових членів.

3. Склад лабораторного устаткування

Лабораторна робота виконується на обчислювальному комплексі, у складі якого: локальна обчислювальна мережа комп'ютерів типу IBM PC, Windows XP.

4. Порядок виконання роботи

1. Вибрати варіант індивідуального завдання з табл. 4.1 згідно з номером n студента у списку групи.

Таблиця 4.1 – Варіанти індивідуальних завдань

Номер варіанта,	Функція
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

2. Користуючись правилами аналітичного обчислення похідних, обчислити похідну та отримати точний розв’язок задачі.

3. Вибрати точку , значення крокута визначити вузли,. Обчислити значення,.

4. Розробити алгоритм методу чисельного диференціювання за допомогою найпростіших формул чисельного диференціювання:

, (4.1)

, (4.2)

(4.3)

і отримати відповідно значення різницевої похідної, центральної різницевої похідної та другої різницевої похідної. Запрограмувати обчислення засобами однієї з алгоритмічних мов.

5. Для побудованих вузлів за допомогою розробленої програми знайти значення першої та другої похідних за формулами (4.1) – (4.3). В кожному випадку оцінити похибку диференціювання двома способами:

- як модуль різниці між точним та наближенимзначеннями похідної;

- користуючись відповідними формулами для похибок похідних:

,

.

6. Виконати пункти 3–5 для значення кроку .

7. Результати обчислювальних експериментів занести в таблицю.

8. Виконати порівняльний аналіз результатів, зробити висновки з роботи, оформити індивідуальний звіт.

5. Зміст звіту

Звіт має містити:

1. Індивідуальне завдання до роботи.

2 Результати аналітичного розв’язання задачі диференціювання.

3. Алгоритм методу чисельного диференціювання.

4. Роздруківку програми.

5. Результати обчислювального експерименту.

6. Аналіз отриманих результатів і висновки з роботи.

4.6 Контрольні запитання і завдання

1. Назвіть ситуації застосування чисельного диференціювання.

2. Що є розв’язком задачі чисельного диференціювання?

3. Яким чином побудовано найпростіші формули чисельного диференціювання?

4. Наведіть спосіб оцінки похибок формул чисельного диференціювання.

5. Як залежить величина похибки формули чисельного диференціювання від величини кроку?