Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую катушку, активное сопротивление которой настолько мало, что им можно пренебречь. Пусть ток в цепи с индуктивностью L(рис. 4,а) изменяется синусоидально:

i_L = I_m sin t.

Этот ток создает в катушке синусоидально изменяющийся магнитный поток, который наводит в ней ЭДС самоиндукции:

e_L=  L d i_L/dt.

Напряжение источника u =u_Lуравновешивается ЭДС самоиндукцииe_L:

u = u_L = – e_L = L d i_L / dt.

Выполнив дифференцирование, получим

u_L = LI_mcost = LI_msin(t + /2) = U_Lm sin(t + /2),

где U_Lm=LI_m, илиU_L=LI.

Произведение Lимеет размерность сопротивления, его обозначаютX_Lи называют индуктивным сопротивлением катушки.

X_L = L = 2f L, U_L = X_L I.

Сравнивая выражения для тока i_L и напряженияu_L,можно сделать вывод, чтона индуктивном элементе напряжение опережает по фазе ток на угол /2. Для цепи с индуктивностью закон Ома в комплексной форме записывается так:

.

Учитывая фазовый сдвиг (=/2), для мгновенной мощности индуктивного элементаp_Lполучим:

p_L=u_Li_L= U_msin(t+/2)I_msin(t) = U_mI_mcos(t)sin(t) = UIsin(2t).

Мгновенная мощность p_Lимеет только переменную составляющую,частота которой в два раза превышает частоту напряжения (или тока) и представляет собой скорость прироста энергии магнитного поля индуктивности. За первую четверть периода тока, когдаu_L иi_L положительны, мгновенная мощностьp_L 0. Это означает, что энергия поступает от источника и идет на увеличение энергии магнитного поля в индуктивной катушке (этот интервал времени отмечен знаком “+” на рис. 4,в). Во вторую четверть периода, когда токi_Lуменьшается от максимального значения до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику, при этом мгновенная мощность индуктивного элемента отрицательна (этот интервал времени отмечен знаком “–” на рис. 4,в.). Далее все повторяется. Следовательно, энергия периодически то забирается индуктивной катушкой от источника, то отдается ему обратно.

Векторная диаграмма цепи с индуктивностью (рис. 4, а) изображена на рис. 4,б, а графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности на рис. 4,в.

Рис. 4

Емкостный элемент в цепи синусоидального тока

Рассмотрим цепь, содержащую конденсатор, емкость которого С. Если к емкостному элементу (рис. 5,а) приложено синусоидальное напряжениеu_c=U_msint, то ток зарядки-разрядки емкости

i_C = Cdu_С / dt = CU_m соs t = I_msin(t + /2).

Таким образом, на емкостном элементе напряжение отстает по фазе от тока на угол /2.

Амплитуда тока I_m=CU_m, а его действующее значениеI =CU.

Множитель Cимеет размерность проводимости (Cм). Величину, обратнуюC, обозначаютX_Си называют емкостным сопротивлениемX_С= 1 /C= 1 / 2fС.

Закон Ома в комплексной форме для цепи с емкостным элементом записывается так:

.

Мгновенная мощность емкости p_Спредставляет собой скорость изменения энергии электрического поля и определяется следующим образом (с учетом сдвига фаз):

p_С = u_Сi_С= U_msin(t)I_msin(t+/2) = UIsin(2t).

Мгновенная мощность p_Симеет только переменную составляющую, частота которой в два раза превышает частоту напряжения (или тока). За первую четверть периода напряжения конденсатор потребляет от источника питания энергию, которая идет на создание в нем электрического поля и увеличение энергии поля (этот интервал времени отмечен знаком “+” на рис. 5,в). Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимального до нуля и запасенная в электрическом поле энергия отдается источнику. Мгновенная мощность отрицательна (этот интервал времени отмечен знаком “–” на рис. 5,в.).

Векторная диаграмма цепи с емкостью (рис. 5, а) приведена на рис. 5,б, а графики мгновенных значений тока, напряжения и мощности—на рис. 5,в.

Рис. 5