- •Центральный удар шаров
- •Введение
- •Лабораторная работаЦентральный удар шаров
- •1. Теоретическая часть
- •1.1. Импульс
- •1.2. Энергия
- •1.3. Удар
- •2. Метод работы
- •3. Описание установки
- •4. Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Центральный удар шаров
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
- •Центральный удар шаров
1.3. Удар
а) классическая теория удара
Интересные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно наблюдаются при ударе тел. Ударом называется кратковременное взаимодействие тел, при этом оба тела деформируются и возникают ударные силы значительной величины. Процесс соударения можно разделить на две фазы:
1) сближение тел – возникновение деформаций;
2) разлет – исчезновение деформаций (полное или частичное).
Различают два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.
При абсолютно упругом ударена первой фазе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации, на второй фазе тела снова приобретают первоначальную форму, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации опять переходит в кинетическую и тела разлетаются. При абсолютно упругом ударе механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии.
Рассмотрим абсолютно упругий удар двух шаров, центры которых движутся вдоль одной прямой. При этом движение вправо будет соответствовать положительной скорости, движение влево – отрицательной.
При абсолютно упругом ударе не выделяется теплота, следовательно, систему из двух взаимодействующих шаров можно считать замкнутой (консервативной). К такой системе можно применить закон сохранения импульса и энергии.
Обозначим массы шаров m1 и m2, их скорости до удараи, а после удараи(рис. 1).
а
б
Рис. 1. Удар шаров: а – положение до удара; б – положение после удара
Применяем к двум взаимодействующим шарам законы сохранения энергии и импульса:
, (1.8)
. (1.9)
Перенося слагаемые, содержащие m1в одну, а m2 в другую сторону в равенствах (1.8) и (1.9), получаем:
, (1.10)
. (1.11)
Деление равенства (1.10) на (1.11) дает:
. (1.12)
Решая совместно уравнения (1.11) и (1.12), находим значения скоростей U1 и U2:
. (1.13)
По этим формулам определяются скорости шаров после удара. Следует помнить, что в формулах (1.13) скорости U1и U2могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки, в зависимости от направления векторови. Проведем анализ полученных результатов по формулам (1.12) и (1.13).
1.Преобразуем равенство (1.12) к виду:
или . (1.14)
В левой части равенства (1.14) (V1–V2) – есть относительная скорость шаров до удара, в правой (U1–U2) – относительная скорость шаров после удара.
Вывод: относительная скорость шаров после удара остается по абсолютной величине равной относительной скорости шаров до удара, но меняет знак на противоположный.
2.Положимm1=m2, тогда из первого равенства (1.13) следует, чтоU1=V2и из второго равенства (1.13) следуетU2=V1.
Вывод: при упругом центральном ударе двух шаров одинаковой массы шары обмениваются скоростями.
3.Пустьm2>m1иV2= 0, тогда из равенства (1.13) получим:U1= –V2, аU2= 0.
Вывод: при ударе шара о массивную стенку его скорость меняется на противоположную, скорость же стенки практически не изменяется.
Абсолютно упругийудар является идеальным случаем. В реальных случаях в зависимости от того, из какого вещества изготовлены шары, большая или меньшая часть механической энергии переходит в тепло.
Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия упругой деформации не возникает, кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию, после удара сталкивающиеся тела либо покоятся, либо движутся с одинаковой скоростью.
При таком ударе шары деформируются, скорости их выравниваются, суммарная кинетическая энергия шаров после удара уменьшается по сравнению с первоначальной (до удара), так как часть ее перейдет в другие формы энергии – тепловую энергию пластических деформаций и т.д.
Для этого случая закон сохранения энергии запишется в виде:
. (1.15)
Система из двух шаров в этом случае будет являться диссипативной, так как часть механической энергии теряется, рассеивается и по формуле (1.15) можно определить потерю механической энергии Q,которую называютэнергией диссипации.
Скорость шаров после удара можно найти, воспользовавшись законом сохранения импульса:
,
откуда
. (1.16)
При абсолютно неупругом ударе относительная скорость шаров после удара равна нулю: U1–U2 = 0, так какU1 =U2 =U. При абсолютно упругом ударе она, как известно, равна:U1–U2 = – (V1–V2). При частично неупругом ударе относительная скорость после удара будет составлять некоторую долю относительной скорости шаров до удара:
U1 – U2 = – (V1–V2), (1.17)
где – коэффициент восстановления относительной скорости шаров при ударе, характеризующий степень упругости взаимодействующих тел и может принимать значения 0 1.
Из формулы (1.17) определяется величина коэффициента восстановления
; (1.18)
б) волновая теория удара
Классическая теория удара, основывающаяся главным образом на законах сохранения импульса и энергии, позволяет однозначно определить конечные скорости тел. Так как предполагается, что все элементы каждого тела жестко связаны и будут мгновенно испытывать одинаковые изменения движения, являющиеся результатом удара.
В действительности возмущение, порожденное в точке соударения, распространяется в телах с конечной скоростью, и его отражение от граничных поверхностей вызывает колебания и вибрации в телах. Таким образом, все сечения каждого тела при соударении одновременно не подвергаются одинаковому действию сил. Местные быстро изменяющиеся деформации и механические напряжения, вызванные этим возмущением, не могут быть определены методами классической теории, но могут быть исследованы с помощью рассмотрения волнового явления.
Выводы классической теории удара приводят к серьезным ошибкам, когда значительная часть общей энергии обусловливает вибрацию. Этот эффект зависит от соотношения продолжительности удара и периода колебаний, возникающих в телах.
В основе волновой теории удара лежит классическая теория упругости. Уравнения распространения упругих волн получаются в результате совместного рассмотрения трехмерных соотношений между механическими напряжениями и деформациями, условий совместности и уравнений движения.
Соотношения между механическим напряжением и деформацией для однородной изотропной среды записываются следующим образом:
, (1.19)
где – объемное расширение тела;i и ij – проекции нормальных и касательных напряжений; i – относительная деформация растяжения (сжатия); ij – проекции деформаций сдвига; – постоянная Ляме; E и G – модули упругости и сдвига соответственно.
Уравнения движения могут быть получены из условия равновесия проекций напряжений, действующих на элементарный объем (dx,dy,dz).
При отсутствии объемных сил в элементе со сторонами dx, dy и dz, условие равновесия сил приводит к выражениям:
, (1.20)
где – плотность тела; Ui – проекции перемещения (деформации).
Подстановка (1.19) в (1.20) приводит к уравнению движения в перемещениях:
, (1.21)
где – оператор Лапласа.
Решение этих уравнений при заданных начальных и граничных условиях определяет в любой точке тела весь процесс деформирования.
При ударе тел возникает весьма сложное поле напряжений, изменяющихся не только от точки к точке (как при статической нагрузке), но и в данной точке тела со временем. Поле напряжений еще больше усложняется в результате отражения волн от границ тела.
В силу сказанного математическое описание процесса удара в общем виде оказывается настолько сложным, что выходит за рамки возможностей теории упругости. Решение уравнений (1.21) может быть получено лишь для ограниченного числа специальных случаев. В остальных случаях для решения частных прикладных вопросов теории удара приходится применять упрощения и допущения, которые не вели бы одновременно к ошибкам качественного и количественного характера.