AiNAU2010
.pdfМинистерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет
Кафедра математического анализа и теории функций
И.В. ГРИДАСОВА, П.А. МАШАРОВ
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА (в рамках коррекционного курса)
для студентов I курса математического факультета ДонНУ
Донецк 2010
Министерство образования и науки Украины Донецкий национальный университет
Кафедра математического анализа и теории функций
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА (в рамках коррекционного курса)
для студентов I курса математического факультета ДонНУ
Рекомендовано к печати Ученым советом
математического факультета ДонНУ. Протокол № 93 от 17 июня 2010 р.
Донецк, ДонНУ 2010
Алгебра и начала анализа (в рамках коррекционного курса) для студентов I курса специальностей “Статистика”, “Математика”, “Прикладная математика”, “Информатика” математического факультета ДонНУ // И.В. Гридасова, П.А. Машаров — Донецк: ДонНУ, 2010.—56 с.
Пособие содержит рабочую программу курса, необходимые теоретические сведения, примеры решения некоторых задач и задания для работы в аудитории и дома по алгебре и началам анализа. Весь материал разбит по темам. Тематика упражнений для аудиторного и самостоятельного решения охватывает основные направления подготовки к изучению математического анализа и некоторые отдельные темы других математических дисциплин, изучаемых на математическом факультете ДонНУ. Здесь содержатся стандартные примеры и в небольшом количестве — примеры повышенной сложности.
Методические пособие рекомендовано для студентов I курса специальностей “Статистика”, “Математика”, “Прикладная математика”, “Информатика” математического факультета ДонНУ.
Составители: |
И.В. Гридасова, ассистент кафедры |
|
математического анализа и теории функций |
|
П.А. Машаров, канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры |
|
математического анализа и теории функций |
Ответственный |
Н.Н. Лосева, председатель учебно-методической |
за выпуск |
комиссии, д-р пед. наук, проф. |
Рецензент: |
Г.А. Попова, канд. физ.-мат. наук, доц. |
c Донецкий национальный университет, 2010c И.В. Гридасова, П.А. Машаров, 2010
Содержание
I. Рабочая программа |
4 |
|
II. Элементы математической логики |
5 |
|
§ 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
|
§ 2. |
Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
§ 3. Упражнения к теме: ”Логическая символика. Метод математической индук- |
|
|
|
ции” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
III. Тождественные преобразования |
8 |
|
§ 4. |
Числа и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
§ 5. |
Многочлены и действия с ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
§6. Тригонометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§7. Упражнения к теме: ”Тождественные преобразования” . . . . . . . . . . . . 17
IV. Функции, их свойства и графики |
20 |
|
§ 8. Определения и общие свойства функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
|
§ 9. Свойства некоторых функций и их графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
|
§ 10. Преобразование графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
§ 11. Упражнения к теме: ”Функции и графики” . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
|
V. Уравнения |
38 |
|
§ 12. Уравнения, системы и совокупности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
|
§ 13. Рациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
40 |
|
§ 14. |
Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
§ 15. |
Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
§ 16. |
Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
§ 17. |
Уравнения с модулем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
§18. Тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§19. Упражнения к теме: ”Уравнения” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
VI. Неравенства |
47 |
|
§ 20. |
Теоремы о равносильности неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
47 |
§ 21. |
Некоторые типы неравенств и их эквивалентные преобразования . . . . . |
49 |
§22. Упражнения к теме: ”Неравенства” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
§23. Дополнительные упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Глава I. Рабочая программа
1.Диагностическая контрольная работа – 2 ч
2.Логическая символика. Метод математической индукции (неравенство Бернулли, бином Ньютона) – 2 ч.
3.Тождественные преобразования
а) алгебраических выражений (действия со степенями, выделение полного квадрата, разложение на множители, деление многочленов) – 2 ч.
б) логарифмических выражений (свойства логарифмов, приведение к одному основанию, степень числа, действия со степенями) – 2 ч.
4.Модуль числа. Геометрический смысл. Свойства модулей – 1 ч.
5.Тригонометрические выражения и их преобразование – 3 ч.
6.Понятие функции (определение, область определения, множество значений). Элементарные и неэлементарные функции. Функция Дирихле, y = [x], y = {x}, y = sign x. Простейшие элементарные функции (квадратичная, дробно-линейная, показательная, тригонометрическая). Графики функций – 2 ч.
7.Свойства функций (монотонность, четность, ограниченность, периодичность). Демонстрация этих свойств на простейших элементарных функциях – 2 ч
8.Суперпозиция функций. Изучение свойств суперпозиции функций. График –
2 ч.
9.Понятие обратной функции. Обратные тригонометрические функции (их графики, свойства, область определения, множество значений) – 2 ч
10.Логарифмическая и показательная функции. Графики – 2 ч.
11.Построение графиков функций путем различных преобразований. Построение графиков суммы, произведения, частного, суперпозиции функций – 2 ч
12.Уравнения. Решение уравнений. Равносильные уравнения, следствия. – 2 ч
13.Основные методы решения уравнений
а) рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, с модулем, системы уравнений – 4 ч
б) тригонометрические уравнения – 2 ч в) показательные и логарифмические уравнения – 2 ч 14. Неравенства
а) равносильные неравенства. Решение неравенств путем равносильных преобразований. Системы неравенств.
4
б) Метод интервалов. Решение дробно-рациональных, показательных, логарифмических неравенств – 2 ч
в) Тригонометрические неравенства – 2 ч г) решение различных неравенств – 2 ч 15. Итоговая контрольная работа.
Глава II. Элементы математической логики
§1. Логическая символика
Вматематике мы имеем дело с высказываниями. В некоторых из них утверждается нечто правильное, такие высказывания называются истинными. В некоторых других утверждается нечто неверное, такие высказывания называются ложными. Всякое высказывание является предложением и может быть выражено словами. Однако при записи высказываний математики используют не только русские буквы, но и другие знаки: цифры, буквы других алфавитов (латинского, греческого), специальные символы. Очень часто используются следующие символы: — для любого (для каждого,
для всякого; реже — для всех), — существует, — следует; — эквивалентно; : — такой, что; . — делится без остатка (нацело), . . . — и так далее. Многие символы известны из геометрии: — принадлежит, — пустое множество, — объединение, ∩ — пересечение. Вот пример использования математического языка. Запись A = {x R: x2 − 3x + 2 = 0} в переводе на русский язык читается так ”множество A состоит из тех действительных значений x, которые являются решениями уравнения . . . ”. Не всякое даже утвердительное (не вопросительное и не восклицательное) предложение является высказыванием. К последним будем относить те, которые имеют точный, однозначный смысл, истинность или ложность которого принципиально возможно установить.
Из всякого высказывания A можно получить новое высказывание, отрицая его, то есть утверждая, что высказывание A не имеет места (обозначения отрицания: A, или A). Каково бы ни было высказывание A, из двух высказываний A и A одно является истинным, а другое ложным. Двойное отрицание — это отрицание отрицания, A = A.
Вматематике встречаются неопределенные высказывания (предикаты). Они содержат переменные. Их истинность или ложность зависит от значений этих переменных. В любой теореме можно выделить условие и заключение, которые обычно
5
6 Глава II. Элементы математической логики [И.В. Гридасова
являются неопределенными высказываниями. Если теорема формулируется в виде A B, то условие A является достаточным для B, а условие B является необходимым для A. Теоремы A B и B A называются обратными друг другу.
К бинарным операциям над высказываниями относятся дизъюнкция (операция ”или”, обозначение ) и конъюнкция (операция ”и”, обозначение ).
Для доказательства теорем применяют метод доказательства от противного, суть
которого заключается в равносильности теорем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x)(A(x) B(x)) и ( x) ( B(x)) ( A(x)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются следующие теоремы: |
|
( |
|
x)A(x) |
и ( |
|
x)( |
A(x)); |
|
Также равносильными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x)A(x) и ( x)( A(x)); (A(x) B(x)) и ( A(x)) ( B(x)); (A(x) B(x)) и
( A(x)) ( B(x)).
§ 2. Метод математической индукции
Пусть мы имеем бесконечную последовательность утверждений P1, P2, . . . , Pk,
. . . , и нам требуется доказать, что все они (или какое-то одно из них с достаточно большим номером) имеют место. Иногда это удобно сделать при помощи метода математической индукции. Схема применения метода состоит в следующем:
1)доказать, что утверждение P1 истинно (этот этап называется базой индукции);
2)доказать, что если при некотором n утверждения Pk при всех k = 1, 2, . . . , n истинны, то истинным является утверждение Pk при k = n + 1 (этот этап называется шагом индукции).
§3. Упражнения к теме: ”Логическая символика. Метод математической индукции”
1. Прочитайте высказывание. ”Переведите” его на русский язык. Верно ли оно?
a) a, b Z: a = b2; |
b) n N: 8 < n2 < 12; |
|
|
|||||||||
c) a R b R: a + b = b + a; |
d) n N: n > 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||
e) a, b |
|
R a < b, |
f) a |
R, b |
R: a |
· |
b > 0 |
|
a > 0, |
|||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b > 0; |
|||
|
|
a > b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
2; |
h) a, b N (a + b) |
2 |
= 5; |
|
|
||||
g) a, b Z: a = b ; |
|
|
|
|||||||||
i) x, y N: x + y = 7 и x · y = 7; |
j) m, n N: m · n m, m · n n; |
|||||||||||
k) b N: b < 1, b > −2; |
l) m N: m2 = 2 · m; |
|
|
|||||||||
m) n N n2 = 1; |
|
n) x, y N: x + y < 2; |
|
|
||||||||
o) k R k < k2; |
|
p) x, y R (x + y)2 = x2 + y2; |
|
|||||||||
q) a Q a = −a; |
r) a Q a2 > 0; |
|
|
|
|
|
|
П.А. Машаров] § 3. Упражнения: |
”Лог. |
символика. Метод математической индукции” 7 |
|||||||||
s) a R a2 0; |
|
|
|
|
|
|
t) n N: n2 > 30. |
|
|
|
|
2. Прочитайте утверждение, опровергните его. Постройте его отрицание. |
|||||||||||
a) a: a2 > a; |
|
|
|
|
|
|
b) b: b2 + b + 1 – простое число; |
||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
m |
|
|
n |
|
c) x, y N (x + y) |
|
= x |
|
+ y |
; |
d) m, n N: n |
= |
|
; |
||
|
|
m |
|||||||||
e) a, b N: (a + b)2 = 5; |
|
|
f) c, d N: c2 + d2 = 6; |
||||||||
g) x, y N: x + y = 7 и x · y = 7; |
h) m, n, k N: |
m |
|
|
mk |
||||||
n |
= nk . |
3. Запишите высказывание сокращенно, определите его истинность, и сформулируйте его отрицание в утвердительной форме. Для теорем сформулируйте обратную
теорему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Два меньше трех. |
b) Два плюс три равно пяти. |
|
|
||||||||||
c) Любое натуральное число меньше |
d) Всякое число, оканчивающееся двумя |
||||||||||||
ста. |
|
|
нулями, делится на четыре. |
|
|
||||||||
e) Для любых двух различных дей- |
f) Для любых двух различных рацио- |
||||||||||||
ствительных чисел найдется рацио- |
нальных чисел найдется действительное, |
||||||||||||
нальное, лежащее на числовой пря- |
расположенное на числовой прямой меж- |
||||||||||||
мой между ними. |
|
|
ду ними. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
g) Сумма любых двух рациональ- |
h) Существуют два иррациональных чис- |
||||||||||||
ных чисел является рациональным |
ла, сумма которых является рациональ- |
||||||||||||
числом. |
|
|
ным числом. |
|
|
|
|
||||||
i) Если число делится на шесть, то |
j) Каждое простое число нечетно. |
|
|
||||||||||
оно кратно пяти. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k) Число x четное. |
|
l) Функция f(x) нечетная. |
|
|
|||||||||
m) Для любого действительного чис- |
n) Для любого положительного числа |
||||||||||||
ла найдется натуральное, большее |
найдется отрицательное, сумма которых |
||||||||||||
этого числа. |
|
|
будет неположительной. |
|
|
||||||||
4. Докажите методом математической индукции следующие утверждения. |
|
|
|||||||||||
a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 |
b) 1 ·2 + 2 ·5 + . . .+ n·(3n−1) = n2(n+ 1) |
||||||||||||
n N; |
|
|
n N; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
c) n·(2·n2 −3·n+1) кратно 6 n N; |
d) 4n + 15 · n − 1 кратно 9 n N; |
||||||||||||
e) 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n! = |
f) (1 + x)n > 1 + n · x n N n 2 |
||||||||||||
(n + 1)! − 1 n N; |
x > −1 x = 0; |
|
|
|
|
||||||||
g) n 3 2n > 2n + 1; |
h) | sin nx| n| sin x| n N; |
|
|
||||||||||
|
n |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
n |
|||
i) функция y = x |
|
n N монотон- |
j) |
|
+ |
|
+ |
|
+ . . . + |
|
= |
|
. |
|
4·5 |
5·6 |
6·7 |
(n+3)·(n+4) |
4·(n+4) |
но возрастает на [0; +∞);
5. Докажите методом математической индукции (задания для работы дома).
a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = |
b) 12 + 32 |
+ 52 + . . . + (2n − 1)2 |
= |
||||||||||||||
|
n(n + 1)(2n + 1); |
|
n(2n − 1)(2n + 1); |
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
|
7 |
37 |
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|||||
c) (1 + x1) ·(1 + x2) . . . (1 + xn) 1 + |
d) |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ . . . + |
|
|
= |
||||
1·8 |
8·15 |
15·22 |
(7·n−6)·(7·n+1) |
||||||||||||||
x1 +x2 +. . .+xn где x1 . . . xn — числа |
1 − |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7·n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
одного и того же знака, больше −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e) 62n−1 + 1 делится на 7; |
f) 33n+2 + 24n+1 делится на 11; |
|
|||||||||||||||
g) 72n − 1 делится на 48; |
h) 2! · 4! · . . . · (2n)! > [(n + 1)!]n n > 1 |
|
Глава III. Тождественные преобразования
§ 4. Числа и действия с ними 4.1. Свойства арифметических действий над действительными числами
a + b |
= b + a; |
(a + b) + c = a + (b + c); |
a + 0 = a − 0 = a; |
(4.1) |
|||||||||||
a + (−a) |
= 0, a ; |
−(−a) = a; |
|
|
|
0 − a = −a; |
(4.2) |
||||||||
ab |
= ba; |
|
(ab)c = a(bc); |
a(b + c) = ab + ac; |
(4.3) |
||||||||||
a · 1 |
= 1 · a = a; |
|
a · 0 = 0 · a = 0, a ; |
a · (b/a) = b, a = 0, ; |
(4.4) |
||||||||||
0 |
|
|
|
a + b |
|
a |
|
b |
|
a |
|
||||
|
|
|
= 0, a = 0, ; |
|
|
= |
|
|
+ |
|
, c = 0; |
|
|
— не определено. |
(4.5) |
|
a |
|
c |
c |
c |
0 |
4.2. Степень. В записи an = b число a называется основанием степени, n — показателем степени, b — значением степени. Степень с натуральным показателем:
an = a · a · . . . · a, n N, n 2. 1n = 1; 0n = 0, n N; a1 = a; a0 = 1, a = 0. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn→β |
|
. Свойства: |
|
|
|
|||
|
n раз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Степень с действительным показателем aβ = lim arn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn Q |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
am · an = am+n, |
am : an = am−n, |
|
m R, n R. |
(4.6) |
|||||||||||||
|
|
aa n |
= an |
|
n |
= a1 b |
|
|
m , |
|
|
|
(4.7) |
||||||
|
|
|
m n |
amn, |
ab |
n |
|
n |
n, |
|
R |
n |
|
R. |
|
||||
|
|
|
|
|
= |
|
, |
a− |
= |
|
, |
n R, |
a = 0. |
|
(4.8) |
||||
|
|
b |
bn |
an |
|
4.3. Арифметический корень n-й степени и его свойства. Арифметическим корнем n-й степени (n N, n > 1) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, которое при возведение его в степень n дает число a. Число n называется показателем корня, число a — подкоренным выражением. Обозначение:
√
n a = b; эта запись означает bn = a, a 0, b 0.
8