- •Тема 1 Методы и модели регрессионного анализа 7
- •Тема 2. Системы эконометрических уравнений 50
- •Тема 3. Анализ временных рядов 60
- •Предисловие
- •Введение. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования
- •Общие понятия
- •Экономическая модель
- •Эконометрическая модель
- •Элементы эконометрической модели и их свойства
- •Задачи эконометрики
- •Эконометрика и её место в ряду математических и экономических дисциплин
- •Тема 1 Методы и модели регрессионного анализа
- •1.1 Основные понятия регрессионного анализа
- •1.1.1 Спецификация модели
- •1.2 Парная регрессия и корреляция
- •1.2.1 Линейная модель парной регрессии и корреляции
- •Оценка тесноты связи
- •Оценка качества подбора уравнения
- •Проверка статистической значимости эконометрической модели
- •Оценка значимости параметров эконометрической модели
- •1.2.2 Нелинейные модели парной регрессии и корреляции Виды нелинейных уравнений регрессии
- •Линеаризация нелинейных моделей регрессии
- •Оценка тесноты связи нелинейной регрессии
- •Оценка качества нелинейных уравнений регрессии
- •1.3 Множественная регрессия и корреляция
- •Отбор факторов, включаемых в модель множественной регрессии
- •1.3.1 Линейное уравнение множественной регрессии
- •Оценка параметров линейных уравнений регрессии
- •1.3.2 Линейное уравнение множественной регрессии с стандартизированном масштабе
- •1.3.2 Частные уравнения регрессии
- •1.3.3 Свойства оценок параметров эконометрической модели, получаемых при помощи мнк
- •1.3.4 Предпосылки мнк, методы их проверки
- •Обобщенный метод наименьших квадратов (омнк)
- •1.3.5 Проверка существенности факторов и показатели качества регрессии
- •Оценка тесноты связи
- •Проверка статистической значимости эконометрической модели
- •Оценка значимости параметров эконометрической модели
- •1.3.6 Фиктивные переменные во множественной регрессии
- •1.4 Резюме по теме.
- •Вопросы для повторения
- •Тема 2. Системы эконометрических уравнений
- •2.1. Классификация систем эконометрических уравнений
- •2.2 Структурная и приведенная формы модели
- •2.3 Проблема идентификации систем одновременных уравнений
- •2.4. Методы оценки параметров структурной формы модели (систем одновременных уравнений): косвенный метод наименьших квадратов (кмнк) и двухшаговый метод наименьших квадратов (дмнк)
- •2.5. Модель спроса и предложения
- •2.5.1 Структурная и приведённая форма системы
- •2.6. Вопросы для повторения
- •2.7. Резюме по теме
- •Тема 3. Анализ временных рядов
- •3.1. Структура временного ряда
- •3.2. Автокорреляция уровней временного ряда
- •Проверка гипотезы о наличии тренда во временном ряде
- •3.2. Моделирование тенденции временного ряда
- •3.3. Моделирование сезонных колебаний
- •3.3.1 Аддитивная и мультипликативная модели временных рядов
- •3.4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
- •3.5 Модели стационарных и нестационарных временных рядов и их идентификация
- •3.6 Эргодичность
- •3.7 Особые случаи
- •3.8 Нестационарные временные ряды
- •3.9 Метод разностей и интегрируемость
- •3.10 Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов
- •3.10.1 Понятие адаптивной модели
- •3.10.2 Экспоненциальное сглаживание
- •3.10.3 Модели линейного роста
- •3.10.4 Стохастический процесс Тейла и Вейджа
- •3.10.5 Сезонные модели
- •Аддитивная модель сезонных явлений
- •3.10.6 Модели авторегрессии — скользящего среднего (метод Бокса —Дженкинса)
- •3.10.7 Авторегрессионная модель.
- •3.10.8 Модель скользящего среднего.
- •3.11 Специфика изучения взаимосвязей по временным рядам. Исключение сезонных колебаний. Исключение тенденции.
- •3.11.1. Метод отклонений от тренда
- •3.11.2. Метод последовательных разностей
- •3.12 Резюме по теме.
- •3.13 Вопросы для повторения
Аддитивная модель сезонных явлений
Несмотря на то, что для экономических временных рядов мультипликативная модель обычно оказывается наиболее подходящей, иногда требуется аддитивная модель. Рассмотрим аддитивную модель сезонных явлений с линейным ростом, предложенную Г. Тейлом и С. Вейджем.
Построение такой модели имеет целью упрощение процедуры прогнозирования, поскольку комбинация мультипликативной сезонной модели с линейным ростом математически громоздка. Кроме того, на практике чаще встречаются экспоненциальные тенденции, чем линейные. Поэтому замена значений первоначального временного ряда их логарифмами преобразует экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно мультипликативную сезонную модель в аддитивную. Тогда временной ряд (исходный или преобразованный) можно представить следующим образом:
где a1,t— величина уровня процесса после элиминирования сезонных колебаний;
a2,t — аддитивный коэффициент роста;
gt — аддитивный коэффициент сезонности;
εt— белый шум.
Сначала рассмотрим адаптивную процедуру обновления значения . B моментt мы располагаем наблюдениемxt , о котором известно, что
Однако о шуме и сезонном факторе gt никакой информации нет. Величину εtзаменим нулем, а в качестве заменителя дляgt возьмем самую последнюю оценку сезонного фактораgt-l , гдеl— период сезонного цикла. Величинубудем рассматривать как новое≪фактическое≫значениеa1,t. Последней оценкой уровняа1 является, но она соответствует моментуt-1, а неt.
Поэтому необходимо к добавить еще.Но так как оценкумы еще не можем получить, то вместо нее берем оценку, полученную на предыдущем шаге.
Это приводит к следующей процедуре адаптации:
которая при данных весах иоцениваета1,t через наиболее свежее наблюдениеxt и ранее подсчитанные величины.
Та же процедура применяется для получения оценки gt. Новое «фактическое» значение сезонного фактора будет, а старое значение равно,экспоненциально-сглаженное значение
Все три параметра сглаживания будут удовлетворять условию 0< α1, α2, α3<1.
Адаптивное прогнозирование теперь провести сравнительно просто. Предположим, что t — текущий момент времени, так чтоимеются в нашем распоряжении. Предположим также, что мы хотим получить прогноз величины xt+τ (прогноз на τ шагов вперед). Экстраполируем тенденцию линейного роста, используя самое последнее значение коэффициента, добавляем самую свежую оценку сезонного члена для этой фазы цикла и пренебрегаем шумом. В результате получаем
при условии, что 0 < τ< l. Если l < τ < 2l, то необходимозаменить на.
Однако на практике удобнее осуществлять адаптивное регулирование с помощью уравнений, связывающих эти величины с ошибкой прогноза, сделанного в конце периодаt — 1 на один шаг вперед.
3.10.6 Модели авторегрессии — скользящего среднего (метод Бокса —Дженкинса)
Для описания моделей потребуются следующие обозначения:
xt — значение ряда в моментt;
εt– белый шум с дисперсией.
Модель основывается на гипотезе, что изучаемый процесс является выходом линейного фильтра, на вход которого подан процесс белого шума, т. е. что член ряда xt является взвешенной суммой текущего и предыдущих значений входного потока:
где μ= const в общем случае является параметром, характеризующим процесс.
Если последовательность ψ1, ψ2, … конечна или бесконечна, но сходится, то процессxt будет стационарным. Тогда μ — среднее значение, вокруг которого процесс варьирует. В противном случаеxt — нестационарен и μ не имеет особого смысла, кроме как некой точки отсчета уровня процесса.
Типы моделей