Формулы_математический_анализ

Пределы

1. Бесконечно малые функции:

Бесконечно большие функции:

Если , то ;

Если , то

2. Первый замечательный предел:

; ;

3. Второй замечательный предел:

4. Эквивалентные бесконечно малые:

Производная

1. Основные правила дифференцирования

2. Таблица производных сложных функций:

3. Дифференцирование функций, заданных параметрически:

4. Дифференциал функции

5. Правило Лопиталя:

Функции нескольких переменных

1. Полный дифференциал:

2. Производная по направлению :

где .

3. Градиент: .

4. Экстремум функции двух переменных

а) необходимое условие существования экстремума:

б) достаточное условие существования экстремума:

Если , то в точке экстремум существует:

при - min;

при -max;

если , то в точке экстремум не существует;

если , то необходимы дополнительные исследования.

5. Приближенные вычисления:

Неопределенный интеграл

1. Основные свойства неопределенного интеграла:

2. Интегрирование по частям

Виды интегралов, которые берутся по частям

3.Таблица основных интегралов

4. Простейшие рациональные дроби

Определённый интеграл

1. Формула Ньютона-Лейбница: ,

где

2. Свойства определённого интеграла:

а) г)

б) д) если , то

в) e) если , то

г)

3. Интегрирование по частям: .

4. Геометрические приложения определенного интеграла:

а) площадь криволинейной трапеции:

б) площадь фигуры:

в) объем тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OX:

г) объем тела, образованного вращением трапеции вокруг оси OY:

Несобственные интегралы

1. Если непрерывна, то

а) ;

в)

б) ;

2. Если разрывна при , то

3. Если разрывна при , то

4. Если разрывна в точке , то

Дифференциальные уравнения

а) Дифференциальные уравнения первого порядка

1.Уравнения с разделяющимися переменными:

2.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка:

3.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

4. Уравнение Бернулли:

б) Дифференциальные уравнения второго порядка

5.Простейшие уравнения второго порядка допускающие понижение порядка:

а) в)

б)

6. Линейные однородные диф.уравнения второго порядка с постоянными

коэффициентами

Диф. уравнение
Характер. уравнение
Корни характер. уравнения
Вид решения

7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с

постоянным с коэффициентами:

Ряды

1. Необходимый признак сходимости ряда:

Если ряд сходится, то

Если , то ряд расходится.

2.Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:

а) предельный признак сравнения: если и конечен, то ряды и

сходятся или расходятся одновременно;

б) признак Даламбера: если существует конечный предел то при ряд

сходится, а при - расходится;

в) признак Коши: если существует предел , то при ряд сходится, а при

- расходится;

с) интегральный признак: если сходится или расходится интеграл , где то ряд будет также сходится или расходится.

3. Сходимость знакочередующихся рядов:

а) признак Лейбница: ряд сходится, если: 1) ;

2) ;

б) абсолютная сходимость: если ряд сходится и сходится ряд, то

знакочередующийся ряд сходится абсолютно;

в) условная сходимость: если ряд сходится и расходится ряд , то

знакочередующийся ряд сходится условно.

4. Радиус сходимости степенного ряда: .

5. Интервал сходимости

а) для ряда ;

б) для ряда