Глава девятая Нормальное распределение
§1. Равномерное распределение
Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение.
Пусть случайная величина Х принимает значения из интервала (а,b), на котором плотность равномерного распределения f(x) = c. Найдем с. Т.к. все возможные значения Х принадлежат (а,b), то или, откуда. Итак,(*)
Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания.
В главе 7 п.3. для f(x), заданной (*), найдена F(x), а именно:
График функции распределения |
График плотности распределения |
|
Случайная величина равномерно распределена на отрезке [a,b]. Найдите функцию F(x) и запишите плотность распределения f(x) этой случайной величины.
№ |
а |
в |
в - а |
F(x) |
f(x) |
1
|
2 |
7 |
… | ||
2 |
2 |
3 |
|
|
|
Можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины, имеющей равномерный закон распределения, а именно: (Гл.8, §3)
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше 0,5 минуты? Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – времени ожидания поезда.
а |
в |
в - а |
f(x) |
M(X) |
D(X) | ||
0 |
2 |
… |
=…… |
= =…
1(мин) |
|
0,58 мин |
§2. Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид: , гдеа – математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение.
Кривую нормального распределения называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
Свойства функции.
D(f) = R
При всех значениях аргумента функция принимает положительные значения.
, т.е. ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
График симметричен относительно прямой х = а ( разность х - а содержится в четной степени).
Исследование на экстремум.
Найдем первую производную: . Отсюда:при
х = а ( х = а – критическая точка).
х = а –точка максимума.
График.
Изменение параметра а не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает (Рис.1).
С возрастанием максимальная ордината кривой убывает, а сама кривая становится более пологой. При убываниимаксимальная ордината кривой увеличивается, а сама кривая становится более "островершинной" (Рис.2) .