Лекции 1,2

Матрицы и определители

Понятие матрицы.

Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую m строк n столбцов, называют матрицей.

Это квадратная матрица третьего порядка, для которой m=n=3.

Матрицы обычно обозначают заглавными буквами.

Ниже приведена прямоугольная матрица С, для которой m=5, n=6.

1.0 2.0 -3.0 4.0 -1.0 -1.0

2.0 -1.0 3.0 -4.0 2.0 8.0

С = 3.0 1.0 -1.0 2.0 -1.0 3.0

4.0 3.0 4.0 2.0 2.0 -2.0

1.0 -1.0 -1.0 2.0 -3.0 -3.0

Элементы матрицы обозначаются прописной (малой) буквой с двумя индексами, указывающими номер строки и номер столбца, в которых расположен элемент матрицы.

Так для матрицы С элемент = -1

Для квадратной матрицы в математике введено фундаментальное понятие определителя.

Определитель 2-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

А=

Определение. Определителем матрицы А= называется число, равное (-).

Определитель матрицы А обозначается detA, либо значком , либо символом .

= detA= ₌ -.

Отметим, что символ обозначает не матрицу, а число, которое вычисляется по элементам матрицы. Произведение элементов на главной диагонали матрицы минус произведение элементов на побочной диагонали – это число, которое называется определителем матрицы А второго порядка.

Математический смысл определителя второго порядка поясним, рассматривая систему двух линейных уравнений: с матрицей А=, составленной из коэффициентов при неизвестных

₁₁Х₁ +₁₂Х₂ = b₁

₂₁Х₁ +₂₂Х₂ = b₂

Для исключения Х₂ сложим первое уравнение, умноженное на , со вторым, умноженным на (-), получим

(-)Х₁ = (-).

Легко заметить, что выражение в скобках перед Х₁ представляет собой определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, т. е.

-.= ₌ .

Выражение в другой скобке (-), стоящей после знака “=”,. тоже представляет собой определитель второго порядка:

(-).=, т. е. определитель второго порядка .- это определитель матрицы А₁ =, которая получается из матрицы А. если в матрице А=, первый столбец заменить столбцом правых частей системы .

Используя введенные выше обозначения, выражение

(-)Х₁ = (-) можно записать так:

Х₁ =._,

Х₁ = ,

Для исключения Х₁ сложим первое уравнение, умноженное на (-), со вторым, умноженным на , получим

(-)Х₂ = (-).

Выражение в скобках перед Х₂ (такое же, как и в скобках перед Х₁ ) представляет собой определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, т. е.

-.= ₌ .

Выражение в другой скобке (-).. тоже представляет собой определитель второго порядка:

(-)..=, т. е. определитель второго порядка .- это определитель матрицы А₂ =, которая получается из матрицы А. если в матрице А=, второй столбец заменить столбцом правых частей системы .

Используя введенные обозначения, выражение

(-)Х₂ = (-). можно записать так:

Х₂ =._,

Х₂ = .

Если , тогда Х₁ = ./, Х₂ = ./.

Вычисление Х₁ и Х₂ по этим формулам (формулам Крамера) называют правилом Крамера. Итак, если , то решение однозначно определяется формулами Крамера. Для нахождения решения системы достаточно вычислить 3 определителя: , ., и .

Если предположить, что существует другое решение, то оно при ≠ 0 тоже будет определяться формулами Крамера, т. е. решение единственно.

Случай здесь рассматривать не будем.

Определители 3-го и n-го порядков

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

₁₁Х₁ +₁₂Х₂ + ₁₃Х₃ = b₁

₂₁Х₁ +₂₂Х₂ + ₂₃Х₃ = b₂ (1)

₃₁Х₁ +₃₂Х₂ + ₃₃Х₃ = b₃

Матрицу этой системы обозначим А

А=

Исключим Х₂ и Х₃ из системы (1). Для этого первое уравнение умножим на

,

второе уравнение умножим на

,

третье уравнение умножим на

,

и результаты умножения сложим.

Прежде, чем выполнять указанные выше умножения и сложения, полезно отметить, что множители сконструированы по одному и тому же правилу. Чтобы убедиться в этом, запишем их, используя определители 2-го порядка.

. (2)

Отметим, что определитель второго порядка в правой части равенства (2) соответствует квадратной матрице второго порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент , а показателем степени числа (-1) является сумма индексов этого элемента.

. (3)

Определитель второго порядка в правой части равенства (3) соответствует квадратной матрице второго порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент , а показателем степени числа (-1) является сумма индексов этого элемента.

. (4)

Определитель второго порядка в правой части равенства (4) соответствует квадратной матрице второго порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент , а показателем степени числа (-1) является сумма индексов этого элемента.

Важно отметить, что вычеркиваемые элементы , и являются элементами первого столбца.

Проделав элементарные, но громоздкие преобразования (упомянутые выше умножения и сложения), после исключения Х₂ и Х₃ из системы (1).получим

= (5)

Число

= (6)

назовем определителем матрицы А или определителем третьего порядка.

Ниже будет дано детальное словесное описание формулы (6).

Здесь же отметим, что, решая систему двух уравнений, мы получили выражение, аналогичное (5),

(-)Х₁ = (-)

и назвали число = (-) определителем второго порядка.

Обозначения определителя матрицы А третьего порядка такие же, как и для определителя 2-го порядка:

= detA = (7)

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользовать известным правилом Сарруса.

Легко заметить, что число в правой части равенства (5), которое обозначим ₁, можно получить, если в выражении (6) заменить на b₁, заменить на b₂, заменить на b₃. Это означает, что ₁ является определителем матрицы А₁ . которая получается из матрицы А заменой первого столбца столбцом правых частей системы (1).

А₁=

₁ ==_.

Введенные выше обозначения позволяют записать соотношение (5) в виде

X₁=₁ , (8)

либо в виде

X₁ = (9)

₁ – определитель в правой части равенства (9) является определителем матрицы А₁ . которая получается из матрицы А заменой первого столбца столбцом правых частей системы (1).

Аналогично, исключая Х₁ и Х₃ из системы (1) и используя при этом вместо (2), (3) и (4) другие множители (можно догадаться какие, если вспомнить правило их конструирования), придем к соотношениям

X₂=₂ , (10)

X₂ = (11)

₂ – определитель в правой части равенства (11) является определителем матрицы А₂ . которая получается из матрицы А заменой второго столбца столбцом правых частей системы (1).

А₂ =

Аналогично, используя вместо (2), (3) и (4) другие множители (можно догадаться какие) придем к соотношениям

X₃=₃ , (12)

X₃ = (13)

₃ – определитель в правой части равенства (13) является определителем матрицы А₃ . которая получается из матрицы А заменой третьего столбца столбцом правых частей системы (1).

А₃ =

Если ≠ 0, тогда система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

X₁=₁ /,

X₂=₂ /, (14)

X₃=₃ /.

В самом деле, если предположить, что существует другое решение, то оно при ≠ 0 тоже будет определяться формулами Крамера, т. е. решение единственно.

Случай рассмотрим позже. Сейчас же нашей целью является не выяснение вопроса о решениях системы (1), а вскрытие математической природы определителя n-го порядка, изучение его свойств, отправляясь от определителя 3-го порядка,

Итак, прежде чем сформулировать определение определителя 3-го, а заодно и определителя n-го порядка изучим формулу (6).

=

Отметим, что каждое слагаемое в ней представляет собой произведение трех элементов, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А. Всего слагаемых 3! = 6, а первые индексы элементов каждого слагаемого одинаковы и расположены в порядке возрастания, Перед слагаемым ставится плюс, если количество нарушений порядка среди вторых индексов четное или ноль. Знак минус ставится, если количество нарушений порядка среди вторых индексов нечетно. Например, во втором слагаемом для вторых индексов 3, 1, 2 отмечается два нарушения порядка: 3 стоит перед 1 , и 3 стоит перед 2. В последнем слагаемом для вторых индексов 2, 1, 3 наблюдается только одно нарушение порядка.

Сформулируем теперь определение определителя третьего порядка. Ценность этого определения состоит в том, что оно дословно повторяет определение определителя порядка n.

Определение 1. Определителем квадратной матрицы 3-го (n-го) порядка называется число, которое вычисляется по 3² (по n²) элементам матрицы и представляет собой алгебраическую сумму 3! (n!) всех возможных произведений из 3-х (из n) элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак каждого слагаемого определяется по числу (-1)^N , где N – число нарушений порядка среди вторых индексов, при условии, что в каждом из произведений первые индексы элементов матрицы следуют в порядке возрастания.

Итак, формулы для определителей второго и третьего порядка достаточно подробно разъяснены (они выведены), отмечены закономерности построения определителя третьего порядка. Эти закономерности распространяются и на определителя порядка. n.

После изучения свойств определителя мы покажем, как выводятся формулы Крамера для системы линейных уравнений с квадратной матрицей произвольного порядка n.

Второе определение определителя

Перебор всех вариантов выбора элементов по одному из каждой строки и каждого столбца оказывается слишком громоздким даже для определителя четвертого порядка (даже в этом простом случае число слагаемых оказывается большим, равным 4!=24) и поэтому определение 1 на практике не используется. Определением 1 можно пользоваться лишь при вычислении определителей третьего порядка, что тоже не желательно.

Покажем другой способ вычисления определителя 3-го порядка (сведение задачи к вычислению трех определителей второго порядка). Этот способ оказывается пригодным и для определителей порядка n (задача сводится к вычислению n определителей (n-1)–го порядка).

В формуле (6) сгруппируем члены, содержащие элементы первой строки, получим

(15)

Иначе эта формула перепишется так:

(16)

В формуле (16) можно перед всеми слагаемыми поставить знак плюс, если переписать ее в виде.

(17)

Формула (17) – это иначе переписанная формула (15) или формула (16). Легко убедиться, что знак минус в (17) выбирается автоматически с помощью (-1) в степени (i+j), где i – номер строки элемента, стоящего перед определителем в формулах (16) и (17), а j – номер столбца этого элемента.

Отметим, что формула (17) - это разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Важность введения множителя (-1)^(i+j) заключается в том, что этот множитель позволяет автоматически выбирать знак перед каждым слагаемым не только в разложении определителя третьего порядка, но и в разложении определителя произвольного порядка n.