Понятие алгебраического дополнения и его свойство

Следующее свойство алгебраических дополнений можно рассматривать как четвертое свойство определителя.

Доказанное свойство алгебраических дополнений будет использовано при доказательстве достаточного условия существования обратной матрицы и при доказательстве теоремы Крамера для системы уравнений с n неизвестными.

Перемножение матриц.

Матрицы перемножаются по легко запоминаемому правилу “строка на столбец”

Оно формулируется так:

Отметим, что произведение матриц не коммутативно, АВ≠ВА.

Понятие обратной матрицы

Для матриц единичная матрица выполняет те же функции, что единица для чисел.

Единичной матрицей называется матрица

Легко убедиться, что AE=EA.

Пуст А квадратная матрица порядка n и Е единичная матрица того же порядка. Матрица В называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если ВА=АВ=Е.

Обратную матрицу матрицы А обозначают символом А^-1.

Естественно возникает вопрос об условиях существования обратной матрицы.

Теорема

Для того, чтобы для квадратной матрицы А

существовала обратная матрица А^-1.необходимо и достаточно чтобы detA≠0.

1. Необходимость.

Пусть обратная матрица А^-1.существует, тогда А А^-1=Е и detAdet А^-1=detE.

Отсюда вытекает detA≠0.

Здесь использовалось следующее утверждение:

Определитель матрицы С, равной произведению квадратной матрицы А на квадратную матрицу В, равен произведению определителей матриц А и В.

2) Достаточность. Составим матрицу В, в i-той строке которой стоят алгебраические дополнения i-го столбца матрицы А, поделенные на величину определителя .

Для вычисления обратной матрицы сначала составляют матрицу из алгебраических дополнений, соответствующую матрице А

Элементы матрицы, составленной из алгебраических дополнений

А₁₁ А₁₂. . .А_1n,

А₂₁ А₂₂. . .А_2n,

. . . . . . ,

А_n1 А_n2. . А_nn,

имеют те же индексы, что и элементы матрицы А. После транспонирования матрицы, составленной из алгебраических дополнений, получим матрицу

Матрицу А* называют присоединенной или взаимной к матрице А.

Разделив элементы матрицы А^* на определитель матрицы А, получим обратную матрицу А^-1

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ +. . .+ a_1nx_n = b₁,

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +. . .+ a_2nx_n = b₂,

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

a_m1x₁ + a_m2x₂ +. . .+ a_mnx_n = b_m,

Матрицу этой системы А, столбец свободных членов В и столбец неизвестных Х запишем в виде:

a₁₁ a₁₂. . .a_1n,

a₂₁ a₂₂. . .a_2n,

А = . . . . . . .

a_m1 a_m2. . a_mn,

b₁

b₂,

В =

b_m,

х₁

х₂,

Х =

х_n,

Длина столбца В равна m. Длина столбца Х равна n. Систему (1) удобно записывать в матричном виде

АХ = В.

Если матрица А квадратная и невырожденная, то можно найти обратную матрицу А^-1. Зная А^-1, легко найти решение матричного уравнения, умножив обе его части на А^-1 слева:

А^-1АХ = А^-1В,

ЕХ = А^-1В,

Х = А^-1В.

В качестве примера рассмотрим систему

2Х₁ +5Х₂ = 11,

Х₁ +3Х₂ = 6.

А=, В=, Х=_.

Обратная матрица легко вычисляется

А^-1 =_.

Решение системы находится умножением обратной матрицы А^-1 на столбец В.

Х=_. ===.

Элементарные преобразования как умножение матриц

(Второй способ вычисления обратной матрицы)

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса строки матриц умножаются на число, к одной строке матрицы прибавляется другая строка, переставляются строки матриц. Перечисленные три операции называются элементарными преобразованиями матрицы.

Легко убедиться, что при

Пример. Пусть даны матрица А и матрица S₁ , полученная из единичной матрицы Е перестановкой в второй и четвертой строк

А=, S₁ =, Е=.

Легко проверить, что результатом умножения матрицы А слева на матрицу S₁ является перестановка в матрице А второй и четвертой строк.

=

Пусть S₂ – матрица, порученная из единичной матрицы заменой

-Легко убедиться

Пример. Пусть в матрице Е единицу в третьей строке заменили на 2.

S₂ =,

Легко проверить, что результатом умножения матрицы А (А из предыдущего примера) слева на матрицу S₂ является умножение третьей строки в матрице А на 2.

=

Обозначим через S₃ матрицу, которая отличается от матрицы Е заменой на единицу нулевого элемента на пересечении i-ой строки и j-го столбца. Умножение А слева на S₃ равносильно прибавлению j-той строки матрицы А к i-ой строке.

Пример. Добавим в матрицу Е единицу вместо нуля во второй строке четвертого столбца.

S₃ =,

Легко проверить, что результатом умножения матрицы А (А из предыдущих примеров) слева на матрицу S₃ является прибавление четвертой строки матрицы А к ее второй строке.

=

Последовательное выполнение элементарных преобразований соответствуют умножению слева на произведение соответствующих матричных множителей

S_n …S₃ S₂ S₁

При решении системы линейных уравнений методом Гаусса элементарные преобразования S_n …S₃ S₂ S₁ приводят к единичной матрице, т. е.

S_n …S₃ S₂ S₁А=Е.

Но А^-1 А=Е, поэтому А^-1 = S_n …S₃ S₂ S₁

Мы получили так называемое мультипликативное представление обратной матрицы.

Умножая А^-1 = S_n …S₃ S₂ S₁ на Е слева, получим

А^-1 Е = S_n …S₃ S₂ S₁Е ,

А^-1 = S_n …S₃ S₂ S₁ Е

Теперь нетрудно предложить способ вычисления обратной матрицы.

В самом деле, преобразования S_n …S₃ S₂ S₁ превращают матрицу А в матрицу Е

Это видно из равенства S_n …S₃ S₂ S₁А.=E.

Но те же самые преобразования S_n …S₃ S₂ S₁ превращают матрицу Е в матрицу А^-1

Это видно из равенства А^-1 = S_n …S₃ S₂ S₁Е

Поэтому если к матрице А приписать матрицу Е справа и затем преобразовывать Е одновременно с А, то в итоге на месте матрицы А получится Е, а на месте матрицы Е должна получиться матрица А^-1 .

Должно быть ясно, что в процессе элементарных преобразований ведущие элементы выбираются только в столбцах матрицы системы.

Если рассматривается квадратная матрица системы, то кроме единичной матрицы справа можно приписать еще столбец правых частей системы. Тогда сразу можно получить и решение системы в крайнем правом столбце преобразованной матрицы. Ниже приводится пример для системы с квадратной матрицей четвертого порядка. Расширенная матрица этой системы имеет вид

.000 2.000 -3.000 5.000 -19.000

-3.000 -4.000 1.000 -1.000 4.000

4.000 5.000 -1.000 1.000 -4.000

1.000 3.000 -2.000 3.000 -11.000

Элементарными преобразованиями (см. ниже) получаем не только обратную матрицу, но и решение системы в крайнем правом столбце.

.000 2.000 -3.000 5.000 1.000 .000 .000 .000 -19.000

-3.000 -4.000 1.000 -1.000 .000 1.000 .000 .000 4.000

4.000 5.000 -1.000 1.000 .000 .000 1.000 .000 -4.000

1.000 3.000 -2.000 3.000 .000 .000 .000 1.000 -11.000

1 2 2.000

.000 1.000 -1.500 2.500 .500 .000 .000 .000 -9.500

-3.000 .000 -5.000 9.000 2.000 1.000 .000 .000 -34.000

4.000 .000 6.500 -11.500 -2.500 .000 1.000 .000 43.500

1.000 .000 2.500 -4.500 -1.500 .000 .000 1.000 17.500

2 1 -3.000

.000 1.000 -1.500 2.500 .500 .000 .000 .000 -9.500

1.000 .000 1.667 -3.000 -.667 -.333 .000 .000 11.333

.000 .000 -.167 .500 .167 1.333 1.000 .000 -1.833

.000 .000 .833 -1.500 -.833 .333 .000 1.000 6.167

3 3 -.167

.000 1.000 .000 -2.000 -1.000 -12.000 -9.000 .000 7.000

1.000 .000 .000 2.000 1.000 13.000 10.000 .000 -7.000

.000 .000 1.000 -3.000 -1.000 -8.000 -6.000 .000 11.000

.000 .000 .000 1.000 .000 7.000 5.000 1.000 -3.000

4 4 1.000

.000 1.000 .000 .000 -1.000 2.000 1.000 2.000 1.000

1.000 .000 .000 .000 1.000 -1.000 .000 -2.000 -1.000

.000 .000 1.000 .000 -1.000 13.000 9.000 3.000 2.000

.000 .000 .000 1.000 .000 7.000 5.000 1.000 -3.000

1.000 - Result of Multiplication of the main elements

Rearrangement of lines

1.000 .000 .000 .000 1.000 -1.000 .000 -2.000 -1.000

.000 1.000 .000 .000 -1.000 2.000 1.000 2.000 1.000

.000 .000 1.000 .000 -1.000 13.000 9.000 3.000 2.000

.000 .000 .000 1.000 .000 7.000 5.000 1.000 -3.000

Determinant = -1.000

Check of inverse matrix,

Ниже результат умножения матрицы исходной системы на ее обратную матрицу.

1.000 .000 .000 .000

.000 1.000 .000 .000

.000 .000 1.000 .000

.000 .000 .000 1.000

OTBET -1.000 1.000 2.000 -3.000 - это содержимое крайнего правого столбца преобразованной матрицы.

Итак, обратная матрица найдена. Она имеет вид

1.000 -1.000 .000 -2.000

-1.000 2.000 1.000 2.000

-1.000 13.000 9.000 3.000

.000 7.000 5.000 1.000

Легко проверить, что умножением обратной матрицы на столбец правых частей исходной системы

-19.000

4.000

-4.000

-11.000

получим столбец, содержащий решение

-1.000

1.000

2.000

-3.000

Пример. Рассмотрим матрицу А.

2.0 -3.0 1.0 0.0

-1.0 2.0 0.0 1.0

1 1 2.0 – ведущий элемент

1.0 -1.5 0.5 0.0

0.0 0.5 0.5 1.0

2 2 0.5 – ведущий элемент

1.0 0.0 2.0 3.0

0.0 1.0 1.0 2.0

Итак, элементарными преобразованиями на месте матрицы А получили единичную матрицу, а рядом с ней обратную матрицу (на том месте, где раньше была единичная).

Полезно проверить, что эти элементарные преобразования равносильны умножению матрицы А слева последовательно на матрицы S₁, S₂, S₃, S_4, S₅.

-деление первой строки на 2.

- прибавление первой строки ко второй.

- умножение второй строки на 3.

-прибавление второй строки к первой.

- умножение второй строки на (2/3).

Непосредственным умножением легко убедиться, что

А^-1 = S₅S₄S₃S₂S₁.

Таким образом, обратная матрица А^-1 представлена в виде произведения матриц элементарных преобразований (мультипликативное представление обратной матрицы).

Понятие линейной комбинации столбцов или строк

.

Рассмотрим много столбцов

, , …, .

Столбец А называется линейной комбинацией столбцов

В,. . . .,С, если выполняются равенство

.

Последнее выражение можно записать подробнее.

=,

или в такой записи

.,

,.

…………………

.,

Линейная комбинация для строк определяется аналогично.

.

Строка А(₁, ₂, . . . ,_n) называется линейной комбинацией строк

В(b₁, b₂, . . . ,b_n),. . . .,С(c₁, c₂, . . . ,c_n), если выполняются равенства

.,

,.

…………………

.,

или в краткой записи

.

Столбцы или строки называют также векторами.

Линейная зависимость столбцов (векторов)

Определение 1.

Столбцы (векторы) А, В, …,С называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , , …,, не все равные нулю, что справедливо равенство

, которое более подробно записывается в виде

Столбцы (векторы) называются линейно независимыми, если последние два равенства возможны лишь в случае, когда все числа , ,…, равны нулю.

В равенстве справа подразумевается столбец из нулей

Пример.

-2 2 -3 -1 0

5 - -1 - 2 2 +2 -1 = 0

-7 -1 -1 2 0

Представленные здесь 4 столбца линейно зависимы ( =1, = -1, …,=2.).

Определение 2, Столбцы (векторы) А, В, …,С называются линейно зависимыми, если один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных столбцов. Если же такое представление невозможно, то столбцы называются линейно независимыми.

Пример.

-2 2 -3 -1

5 = -1 + 2 2 -2 -1

-7 -1 -1 2

Первый столбец является линейной комбинацией трех остальных, т. е.

столбцы линейно зависимы

Докажем равносильность определения 1 и определения 2.

1) Пусть А, В,…, С линейно зависимы согласно определению 1. Тогда найдется отличный от нуля коэффициент, например , и при этом будет выполняться равенство

Разделив последнее равенство на ≠0, можно представить столбец В в виде линейной комбинации остальных столбцов, оставив В слева от знака равенства и перенеся все остальное вправо:

2) Пусть А, В,…, С линейно зависимы согласно определению 2. Тогда один из столбцов, например В, можно представить в виде линейной комбинации остальных столбцов, т. е. В=

Перепишем последнее равенство в виде

Поскольку коэффициент при В равен 1, т. е. не равен нулю, то выполнены условия определения 1.

Понятие базисного минора.

Рассмотрим матрицу А порядка n.

Ранг матрицы – это порядок базисного минора.

О вычислении ранга матрицы

Ранг матрицы RgA можно вычислить методом окаймляющих миноров, но проще всего RgA находится элементарными преобразованиями матрицы (см. практические занятия). Можно доказать следующее утверждение:

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Это утверждение легко доказывается и служит основой теоретической предпосылкой для вычисления ранга матрицы.

Теорема о базисном миноре

Теорема. Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Доказательство проведем для строк.

Если бы базисные строки были линейно зависимы, то одна из этих строк была бы линейной комбинацией других базисных строк. В этом случае можно, не изменяя величины базисного минора, вычесть из этой строки упомянутую линейную комбинацию и получить строку, состоящую целиком из нулей.

А это противоречит тому, что базисный минор отличен от нуля.

Итак, линейная независимость базисных строк доказана.

Докажем теперь, что любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы. Пусть j –любое число от 1 до n, а к – любое число от 1 до m.

Убедимся в том, что определитель (r+1)-го порядка

равен нулю.

Если j r или k r , то указанный определитель будет равен нулю в силу того, что у него две одинаковых строки или два одинаковых столбца.

Если j и k превосходят r, то указанный определитель является определителем порядка (r+1), а всякий такой минор равен нулю.

Разложим определитель по элементам последнего столбца и приравняем его нулю.

_1j А_1j + _2j А_2j + …+ _rj А_rj + _kj А_kj = 0.

Но здесь k = r+1, поэтому

_1j А_1j + _2j А_2j + …+ _rj А_rj + _(r+1)j А_(r+1)j = 0

А_(r+1)j совпадает с базисным минором, поэтому А_(r+1)j ≠0, и последнее равенство можно разделить на А_(r+1)j. В результате получим представление последней строки в виде линейной комбинации базисных строк.

определителя.

Теорема.

Эта

Доказано, что строки линейно зависимы.

то

.